Biến cố đối

Đôi khi có thể dùng biến cố đối để tính xác suất của một biến cố. Biến cố đối của biến cố A là biến cố $\bar{A}$ gồm tất cả các kết quả có thể xảy ra nhưng không thuộc biến cố A.

Định nghĩa

Định nghĩa phép thử ngẫu nhiên và biến cố có trong bài xác suất. Nhắc lại ngắn gọn: phép thử ngẫu nhiên chẳng hạn là gieo một con xúc xắc; tập hợp tất cả các kết quả có thể gồm những kết quả có thể xảy ra, với phép gieo xúc xắc đó là tập hợp ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}; biến cố là một tập con của ω, chẳng hạn “xuất hiện mặt có số chấm lẻ”, tức là A = {1; 3; 5}.

Cho biến cố A, vẫn là “xuất hiện mặt có số chấm lẻ”, tức là A = {1; 3; 5}. Biến cố đối của nó là biến cố $\bar{A}=\omega \setminus A$. Đó là tất cả các kết quả còn lại: những kết quả thuộc ω nhưng không thuộc A. Trong trường hợp này, với biến cố “xuất hiện mặt có số chấm lẻ”, biến cố đối là “xuất hiện mặt có số chấm chẵn”. Biến cố đối của biến cố “xuất hiện mặt 2 chấm hoặc 5 chấm” là biến cố “xuất hiện mặt 1, 3, 4 hoặc 6 chấm”.

Dùng ngôn ngữ tập hợp: nếu ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6} và biến cố A = {1; 2} (“xuất hiện mặt có số chấm nhỏ hơn 3”) thì $\bar{A}=\omega \setminus A=\{1;2;3;4;5;6\}\setminus \{1;2\}=\{3;4;5;6\}$. Phát biểu bằng lời là “xuất hiện mặt có số chấm lớn hơn 2”.

Xác suất của biến cố đối thoả mãn một hệ thức đơn giản: nếu xác suất của biến cố A là 25% thì xác suất của biến cố $\bar{A}$ là bao nhiêu? Thực chất ta hỏi: xác suất để biến cố A không xảy ra là bao nhiêu? Biến cố A xảy ra với xác suất 25%, nên biến cố A không xảy ra với xác suất 100 − 25 = 75%. Điều này luôn đúng, nên có thể nói biến cố đối $\bar{A}$ xảy ra với xác suất 1 − P(A):

$$P(\bar{A})=1-P(A)$$

Ví dụ có lời giải

1. Gieo 2 con xúc xắc. Tính xác suất để không xuất hiện 2 mặt 6 chấm. Trong bài xác suất ta đã tính được rằng khi gieo 2 con xúc xắc có tất cả 36 khả năng khác nhau. Bây giờ cần đếm xem bao nhiêu khả năng trong số đó không gồm 2 mặt 6 chấm. Ta có thể đi theo hướng ngược lại: đếm số cặp gồm 2 mặt 6 chấm, tính xác suất của biến cố đó rồi lấy 1 trừ đi.

   Chỉ có 1 cặp gồm 2 mặt 6 chấm là (6; 6), nên xác suất của biến cố A này là:

   $$P(A)=\frac{1}{36}$$

   Xác suất của biến cố đối $\bar{A}$, tức là biến cố “không xuất hiện 2 mặt 6 chấm”, là:

   $$P(\bar{A})=1-P(A)=1-\frac{1}{36}=\frac{35}{36}=\mathrm{97,222}2\dots \mathrm{\%}$$

2. Gieo 3 con xúc xắc. Tính xác suất để xuất hiện ít nhất một mặt 6 chấm. Bài này cũng có thể giải trực tiếp bằng cách liệt kê tất cả các chỉnh hợp có 1, 2 và 3 mặt 6 chấm. Nhưng có thể đi đường vòng và tính biến cố đối, tức là biến cố “không xuất hiện mặt 6 chấm nào”. Trước hết ta tính xem có tất cả bao nhiêu khả năng. Có 3 con xúc xắc, mỗi con có thể xuất hiện mặt từ 1 đến 6 chấm, nên có tất cả 6³ = 216 khả năng.

   Bây giờ cần đếm các khả năng không có mặt 6 chấm nào. Mỗi con xúc xắc phải xuất hiện mặt từ 1 đến 5 chấm, nên có tất cả 5³ = 125 khả năng không chứa số 6. Chỉ còn thay vào công thức:

   $$P(A)=\frac{125}{216}=57,87\mathrm{\%}$$

   Đó là biến cố A: “không xuất hiện mặt 6 chấm nào”. Ta cần xác suất của biến cố đối “xuất hiện ít nhất một mặt 6 chấm”. Thay vào công thức:

   $$P(\bar{A})=1-P(A)=1-\frac{125}{216}=\frac{91}{216}=\mathrm{42,129}6\mathrm{\%}$$

3. Trong kì thi vấn đáp môn Toán, mỗi sinh viên bốc 3 câu hỏi trong số 30 câu hỏi. Trong đó có 10 câu Đại số, 15 câu Giải tích và 5 câu Hình học. Tính xác suất để sinh viên bốc được ít nhất 2 câu hỏi cùng một phân môn. Ở đây cũng dễ hơn nếu giải bằng biến cố đối, đó là: xác suất để sinh viên bốc được mỗi phân môn đúng 1 câu hỏi là bao nhiêu?

   Trước hết ta tính xem sinh viên có thể bốc được bao nhiêu bộ 3 câu hỏi khác nhau. Ta cần dùng tổ hợp. Có tất cả 30 câu hỏi, bốc ra 3 câu, và thứ tự không có ý nghĩa. Ta được số tổ hợp

   $${\mathrm{C}}_{30}^3=4060$$

   Tiếp theo, có bao nhiêu khả năng để sinh viên bốc được mỗi phân môn đúng 1 câu hỏi? Theo quy tắc nhân, có tất cả 10 · 15 · 5 = 750 khả năng. Cuối cùng thay vào công thức tính xác suất:

   $$P(A)=\frac{750}{4060}=18,47\mathrm{\%}$$

   Nhưng ta cần xác suất của biến cố đối, nên chỉ cần lấy 1 trừ đi kết quả này:

   $$P(\bar{A})=1-\frac{750}{4060}=\frac{3310}{4060}=81,53\mathrm{\%}$$