Множества

Множеството може да се разбира като съвкупност от елементи. Всяко множество съдържа определен брой елементи, който може да е краен или безкраен. Може и да не съдържа никакъв елемент – тогава говорим за празно множество. Множеството обикновено означаваме с главна печатна буква, например M, а елементите на множеството – с малка буква m.

Какво е множество

Множеството е едно от основните понятия в математиката, чрез което се определят още много неща, затова е добре още в началото да си изясним какво е множество, за да не се луташ по-нататък в ученето.

Множеството е някаква съвкупност от произволни елементи. В математиката най-често работим с числови множества, т.е. с множества, чиито елементи са числа. Обичайният запис на множество в математиката е такъв:

$$M=\{1;2;3\}$$

С това описахме множество с име „M“, което съдържа три елемента – числата едно, две и три. Множествата винаги записваме във фигурни скоби, практически винаги когато видиш фигурни скоби, става дума за някакво множество.

За какво можем да използваме множествата? Множествата често ни определят какви елементи можем да избираме. Например в ежедневието можеш да кажеш нещо като „Мария, да поиграем една игра, а? Намисли си число от едно до пет.“ – с това определяш някакъв интервал от числа, от които Мария може да избира. В математиката за това бихме използвали множество:

$$L=\{1;2;3;4;5\}$$

И тогава би могъл да кажеш на Мария „Мария, да поиграем една игра, а? Намисли си някакво число, което се съдържа в множеството L.“ Със сигурност играта веднага би била по-забавна. В математиката за записа, че елемент принадлежи на множество, използваме знака ∈, а когато не принадлежи, използваме ∉. Ако искаме да кажем, че единицата принадлежи на множеството L, а числото седем не, бихме го записали така: 1 ∈ L и 7 ∉ L.

Множеството, разбира се, може да е празно, за това служи или записът P = {}, или по-просто P = ∅. Внимавай, че и двата записа означават „празно множество“; ако го запишеш така: P = {∅}, записваш множество, което съдържа в себе си празното множество. Това не е същото като празното множество.

Неподреденост и повторения

За множеството не казваме, че елементите му са подредени по някакъв начин. Множеството съдържа неподредена съвкупност от елементи. Ако имаме две множества A = {1; 2; 3} и B = {3; 2; 1}, казваме, че са равни. Редът на елементите в множеството просто няма значение.

Също така не ни интересуват повторенията. Ако множеството съдържа няколко еднакви елемента (няколко еднакви числа), винаги броим само едно срещане на дадения елемент. Пак, ако имаме тези две множества A = {1; 1; 2; 2; 2} и B = {2; 1}, ще ги смятаме за равни. Не пречи, че множеството A съдържа „повече“ елементи, защото съдържа удвоени или утроени елементи. При работа с множества просто отстраняваме тези повторения.

Брой на елементите и равенство

Можем да въведем понятието брой на елементите на множество – това е колко елемента съдържа то. От предишния пример A = {1; 1; 2; 2; 2} и B = {2; 1} би следвало, че броят на елементите на множеството A е две, но и на множеството B е две, защото и при броенето на елементите на множеството не ни интересуват повтарящите се елементи. Броя на елементите записваме между вертикални черти: |A| = |B| = 2.

Както вече сигурно ти е станало ясно, две множества са равни, ако имат едни и същи елементи. Няколко примера:

$$\begin{array}{rcl}\{1;2;3\}& =& \{1;2;3\}\\ \{1;2;3\}& =& \{1;2;3;2;3;1\}\\ \{a,h,o,j\}& =& \{o,o,h,j,a,o\}\\ \{1;3;5;9\}& \ne & \{1;3;9\}\\ \mathrm{\varnothing }& \ne & \left\{x\right\}\end{array}$$

Съществено свойство е, че множествата могат да съдържат като свой елемент отново множество. Пример: C = {1; 2; {3; 4; 5; 6}}. Важно е да осъзнаеш, че множеството C има три елемента, а не шест. Множеството C съдържа три елемента: числото едно, числото две и едно множество. Елементите 3, 4, 5 и 6 се съдържат във вътрешното множество, а не в множеството C. Затова |C| = 3. По-сложен пример:

$$D=\{0;\{1;\{2;3\}\};\left\{4\right\}\}$$

Колко елемента съдържа множеството D? Съдържа три елемента, те са:

$$D_1=0,D_2=\{1;\{2;3\}\},D_3=\left\{4\right\}$$

Множеството може да е крайно или безкрайно. Крайни са всички множества, които досега споменахме. Безкрайно е например множеството на всички числа.

Подмножество

Нека имаме две множества A = {1; 2} и B = {1; 2; 3}. Тези множества са различни, защото не съдържат едни и същи елементи – множеството B е по-голямо. Със сигурност обаче забелязваш, че множеството B съдържа точно същите елементи като множеството A, само че има допълнително елемента 3. В този момент можем да кажем, че A е подмножество на B.

Ако A е подмножество на B, трябва да е изпълнено, че всички елементи, които съдържа множеството A, се съдържат и в множеството B. Да си подмножество е релация и я записваме със символа ⊆. Формално определение:

$$A\subseteq B\iff \mathrm{\forall }x\in A:x\in B$$

Обикновено се предполага, че множествата A и B могат да са равни и пак ще е изпълнено A ⊆ B. Ако искаме да изразим строгия вариант на подмножество, използваме друг символ: ⊂. Тогава ако A ⊂ B, множеството B трябва да е по-голямо (ако е крайно), трябва да съдържа елемент, който множеството A не съдържа. Такова множество наричаме „собствено подмножество“. Т.е. ако A ⊂ B, A е собствено подмножество на B. Определение на собствено подмножество:

$$A\subset B\iff (A\subseteq B\wedge A\ne B)$$

Определението е същото като при обикновеното подмножество, само че двете множества не бива да са равни. Няколко примера:

$$\begin{array}{rcl}\{a,h,o\}& \subseteq & \{a,h,o,j\}\\ \{a,h,o\}& \subset & \{a,h,o,j\}\\ \{2;4;6\}& \subseteq & \{2;4;6;8;\dots \}\\ \{2;4;6\}& \subset & \{2;4;6;8;\dots \}\\ \{1;2;3\}& ⊈& \{1;3\}\\ \{1;2;3\}& \not\subset & \{1;3\}\\ \{0;1\}& \subseteq & \{0;1\}\\ \{0;1\}& \not\subset & \{0;1\}\\ \mathrm{\varnothing }& \subseteq & \left\{\pi \right\}\\ \mathrm{\varnothing }& \subset & \left\{\pi \right\}\\ \mathrm{\varnothing }& \subseteq & \left\{\mathrm{\varnothing }\right\}\\ \mathrm{\varnothing }& \subset & \left\{\mathrm{\varnothing }\right\}\\ \left\{0\right\}& ⊈& \mathrm{\varnothing }\\ \left\{0\right\}& \not\subset & \mathrm{\varnothing }\\ \{\diamond ,△,\odot ,‡,\wr \}& \subseteq & \{\diamond ,△,\odot ,‡,\wr ,\star ,\bullet ,\mp \}\\ \{\diamond ,△,\odot ,‡,\wr \}& \subset & \{\diamond ,△,\odot ,‡,\wr ,\star ,\bullet ,\mp \}\end{array}$$

Свойства на подмножеството:

• A ⊆ A: множеството винаги е подмножество на себе си.
• A ⊄ A: множеството никога не е собствено подмножество на себе си.
• ∅ ⊆ A: празното множество е подмножество на всяко множество.
• A ⊄ ∅: празното множество няма никакво собствено подмножество.

С помощта на подмножества можем да запишем равенство на множества:

$$A=B\iff A\subseteq B\wedge B\subseteq A$$

Ако двете множества са равни, всяко е подмножество на другото.

Отношението „подмножество“ се нарича още включване.

Булеан

Булеанът е множеството от всички подмножества на дадено множество. Обикновено се означава с P(M) или 2^M.

Пример: M = {1; 2; 3}. Кои са всички подмножества? Със сигурност това са празното множество и самото множество M. Освен тях: {1}, {2}, {3}, {1; 2}, {1; 3}, {2; 3}. Всички тези множества образуват булеана на множеството M. Записваме: P(M) = {∅; M; {1}; {2}; {3}; {1; 2}; {1; 3}; {2; 3}}.

Тъй като празното множество е подмножество на всяко множество и M винаги е подмножество на M, винаги ще е изпълнено ∅ ∈ P(M) и M ∈ P(M).

Как да запишем множество

Единия начин вече споменахме – с просто изброяване на елементите. Използваме за това фигурни скоби. M = {1; 2; 3} или N = {a, b, c, d} и т.н. Ако записваме безкрайно множество, можем да използваме три точки, когато е ясно как продължава редицата от елементи: M = {1; 2; 3; …}

Основният начин да запишем множество е чрез характеристично свойство на множеството. В общ вид записът изглежда така: {x ∈ X | P(x)}, където X е множеството, от което избираме елементи, а P(x) е някаква формула, която определя елементите на множеството. Формулата може да е записана чисто математически или словесно. Вместо „|“ се използва и двоеточие „:„.

Например „нека множеството M съдържа всички числа, които означават някакъв ден от месеца“. Месецът има най-много 31 дни, така че такова множество би имало 31 елемента, от 1 до 31. Бихме могли да го запишем с три точки така: M = {1; 2; 3; …; 30; 31}. Друг запис на същото множество би могъл да изглежда така: {x ∈ ℤ | x означава ден от месеца}, където ℤ означава множеството на целите числа.

По-математически пример би бил „нека множеството P съдържа всички положителни числа, които се делят на пет“. Тогава множеството би изглеждало така: P = {5; 10; 15; 20; 25;…}

Нека опитаме математически да запишем множеството T на естествените числа, които са по-малки от десет: T = {x ∈ ℕ | x<10}. Този запис ни казва: множеството T се състои от елементи x, които вземаме от множеството на естествените числа и които изпълняват условието да са по-малки от 10. Преглеждаме естествените числа и избираме само онези, които са по-малки от десет: {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}. И това е всичко.

Още един пример: Y = {x ∈ ℤ | x ≠ 0}. Определихме множеството Y, което съдържа елементите x, които вземаме от целите числа, а единственото условие, което x трябва да изпълнява, е да не е нула. Множеството Y съдържа всички цели числа освен нулата.

Още един пример: G = {x ∈ ℝ | x · x = x}. Множеството G съдържа елементите x, които вземаме от реалните числа и за всички елементи x трябва да е изпълнено, че когато ги умножим със себе си, получаваме отново числото x. Например можем да опитаме числото 5. По определението трябва да е изпълнено това равенство: 5 · 5 = 5. Това очевидно не е вярно, така че числото 5 няма да е елемент на множеството G. Опитваме с единицата: 1 · 1 = 1. За нея това очевидно е изпълнено, така че единицата ще е елемент на множеството G. Втори и същевременно последен елемент ще е числото нула. За никое друго число вече няма да е изпълнено. Можем да запишем: G = {0; 1}.

И последен пример. Ще напиша нещо по-сложно, за да видиш, че характеристичното свойство може да е и сложно:

$$X=\{x\in \mathbb{R}|(x^2=2x)\vee (\sin (x)=\pi \wedge \cos (x)=\pi )\}$$

На практика множеството най-често се задава с характеристично свойство и може да се каже, че доста голяма част от понятията в математиката са определени с помощта на множества. Ако вземем например интервала, можем да кажем, че интервалът (a; b) е множеството I, за което е в сила:

$$I=\{x\in \mathbb{R}|(x>a)\wedge (x<b)\}$$

Това са всички елементи от множеството на реалните числа, които са по-големи от a и по-малки от b, а точно това изразява интервалът.

Източници

• Уикипедия