Вектори

Векторът е величина, която освен големина има и посока. С това се различава от обикновеното число, или скалара, което има само големина.

Насочена отсечка

Нека в равнината са дадени две различни точки A, B. Между тях можем да прекараме отсечка. Такава отсечка обикновено записваме като AB, като редът на точките няма значение: отсечката AB е съвсем същата като отсечката BA.

Това не винаги ни върши работа, затова въвеждаме понятието насочена отсечка, при която различаваме начало и край. Насочената отсечка AB има начало в A и край в B. На чертежа насочената отсечка се означава със стрелка, а в текста я записваме със стрелка над точките: $\overrightarrow{AB}$. Пример:

Със синьо е показана отсечката AB, с червено – насочената отсечка $\overrightarrow{CD}$. Ако за насочената отсечка $\overrightarrow{AB}$ е изпълнено A = B, я наричаме нулева насочена отсечка. Тя има съвпадащи начало и край, човек дори не би казал, че е отсечка, след като всъщност е само една точка.

Дължината на насочената отсечка е същата като дължината на обикновената отсечка. Изпълнено е $|\overrightarrow{AB}|=|AB|$.

Посока на насочена отсечка

Погледни следните две насочени отсечки $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$:

На пръв поглед се вижда, че насочените отсечки имат една и съща посока. Макар да можем да дефинираме понятието „посока“ строго, ще се придържаме към интуитивното му разбиране. Казано просто, две насочени отсечки имат една и съща посока, ако са успоредни и едната не сочи в обратна посока спрямо другата. Ето двойки насочени отсечки, които имат една и съща посока:

Последните, зелените отсечки, са насочените отсечки $\overrightarrow{IJ}$ и $\overrightarrow{IK}$. Следва пример за двойки отсечки, които нямат една и съща посока:

Какво е вектор

Нека се върнем към чертежа на две насочени отсечки с една и съща посока:

Виждаме, че тези насочени отсечки имат не само една и съща посока, но и една и съща дължина. Единствената разлика между тях е, че са разположени на различно място. Такива насочени отсечки, които имат една и съща посока и една и съща дължина, представят един и същ вектор.

Един вектор можем да начертаем в равнината (в пространството…) по безброй много начини – достатъчно е да вземем произволна насочена отсечка със същата посока и дължина като зададения вектор. Следните насочени отсечки всички представят един вектор:

Векторът е зададен само с дължината и посоката си. Дължината и посоката на вектора са същите като дължината и посоката на насочената отсечка, която го представя. Векторите обикновено записваме със стрелка, както и насочената отсечка. Така можем да имаме вектор $\overrightarrow{AB}$ или по-кратко вектор $\overrightarrow{u}$.

Една конкретна насочена отсечка е представител на вектора. На предишния чертеж имаме общо 7 насочени отсечки, всяка от тях определя друг представител на вектора. Насочените отсечки $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{MN}$ представят един и същ вектор, да кажем $\overrightarrow{v}$, но са два различни представители на $\overrightarrow{v}$.

Колинеарни вектори

Нека са дадени два вектора $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$. Казваме, че са колинеарни, ако са успоредни. Не е нужно векторите $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ да имат една и съща дължина. Посоката им трябва да е или една и съща, или противоположна. Примери за колинеарни вектори:

Всички червени вектори са колинеарни – успоредни са. Посоката вече няма значение, все едно дали сочат към горния десен ъгъл, или към долния ляв. Синият вектор $\overrightarrow{GH}$ не е колинеарен.

Ако колинеарните вектори имат една и съща посока, казваме, че са еднопосочни, а ако нямат една и съща посока – че са противопосочни. Да се върнем към предишния чертеж: векторите $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{EF}$ са еднопосочни, а векторите $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{KL}$ са противопосочни.

Координати на вектори

Вече знаем, че един вектор може да се изрази с безброй много насочени отсечки. Едната от тези отсечки има начало в началото на координатната система, в точката (0; 0) в равнината и в точката (0; 0; 0) в пространството. Погледни следния чертеж:

Насочените отсечки $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$ имат една и съща посока и една и съща дължина, това е един вектор. При това отсечката $\overrightarrow{CD}$ излиза от началото на координатната система, координатите на точката C са (0; 0). Същото важи за двойката отсечки $\overrightarrow{EF}$ и $\overrightarrow{KL}$.

Щом знаем, че отсечките $\overrightarrow{CD},\overrightarrow{EF}$ излизат от началото, можем да въведем уговорка тези вектори да се означават само с крайната си точка. Началната точка е една и съща (това е началото на координатната система), затова за да различим отсечките $\overrightarrow{CD},\overrightarrow{EF}$, ни е достатъчно да запишем краищата им.

Казваме, че векторът $\overrightarrow{AB}$, а следователно и векторът $\overrightarrow{CD}$, има координати (3; 1), които са координатите на точката D – края на отсечката $\overrightarrow{CD}$. Векторът $\overrightarrow{KL}$ има координати (−1; 4), координатите на точката F.

Как да пресметнем координатите на вектор

Сега ще разгледаме математическия начин за определяне на координатите на вектор. Изхождаме от това, че знаем координатите на точките A, B, които определят вектора $\overrightarrow{u}$. Нека векторът $\overrightarrow{u}$ е определен от точките A(2; 3) и B(5; 4). Това е червеният вектор в горната част на предишния чертеж. Как да намерим координатите на точката D, т.е. края на насочената отсечка, която представя вектора $\overrightarrow{u}$ и започва от началото?

Просто преместваме цялата отсечка $\overrightarrow{AB}$ в началото на координатната система. За да доведем точката A в началото, трябва да я преместим с 2 квадратчета наляво и с 3 квадратчета надолу. Същото правим с точката B. С други думи: от двете точки A и B изваждаме координатите на точката A. Така преместваме отсечката $\overrightarrow{AB}$ там, където е начертана отсечката $\overrightarrow{CD}$. Можем да запишем:

$$\begin{array}{rcl}A-A=(2;3)-(2;3)& =& (0;0)\\ B-A=(5;4)-(2;3)& =& (3;1)\end{array}$$

Координатите на вектора $\overrightarrow{u}$ са координатите (3; 1) – краят на насочената отсечка, която има начало в началото на координатната система.

Можем да запишем, че ако векторът $\overrightarrow{u}$ е определен от точките A(x₁; y₁) и B(x₂; y₂), координатите на вектора $\overrightarrow{u}$ намираме така:

$$B-A=(x_2-x_1;y_2-y_1)$$

Координатите на вектора $\overrightarrow{u}$ записваме в кръгли скоби, така че координатите на предишния вектор $\overrightarrow{u}$ бихме записали по следния начин: $\overrightarrow{u}(3;1)$.

Можем още веднъж да се върнем към чертежа и да пресметнем координатите на вектора $\overrightarrow{KL}$. Координатите на точките K и L са K(−2; 1), L(−3; 5). Координатите на вектора ще бъдат

$$L-K=(-3;5)-(-2;1)=(-1;4)$$

Виждаме, че получихме точно координатите на точката F.

Как да пресметнем дължината на вектор

Когато вече знаем координатите на векторите, можем лесно да пресметнем дължината им. Според Питагоровата теорема лесно извеждаме, че дължината на вектор с координати $\overrightarrow{u}(u_1;u_2)$ в равнината е

$$|\overrightarrow{u}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}$$

На следващия чертеж се вижда, че координатите на вектора съвпадат с дължините на страните на построения от нас триъгълник и че след прилагане на Питагоровата теорема наистина лесно пресмятаме дължината на вектора.

Ако имаме вектор $\overrightarrow{u}(2;4)$, дължината му ще бъде

$$|\overrightarrow{u}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}$$

А сега следват две задачи за упражнение.

1. Определи координатите на вектора $\overrightarrow{u}$, зададен с точките A(3; 7), B(−1; 0). Тук решението е съвсем просто и директно. $\overrightarrow{u}=(u_1;u_2)=B-A$.

   $$u_1=-1-3=-4,u_2=0-7=-7$$

   Следователно векторът има координати $\overrightarrow{u}(-4;-7)$

2. Знаем, че векторът $\overrightarrow{u}$ има координати $\overrightarrow{u}(2;3)$ и е определен от точките A(6; 6) и B(x₁; y₁), т.е. $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$. Намери координатите на точката B.

   Съставяме отново нашето добре познато уравнение и от него просто изразяваме неизвестното:

   $$\begin{array}{rcl}{u}_1& =& x_1-6\\ x_1& =& u_1+6\\ x_1& =& 2+6\\ x_1& =& 8\end{array}$$

   Втората координата намираме по същия начин:

   $$\begin{array}{rcl}{u}_2& =& y_1-6\\ y_1& =& u_2+6\\ y_1& =& 3+6\\ y_1& =& 9\end{array}$$

   Точката B има координати (8; 9).