Rentes rente

Renten tilskrives flere gange, når den skal anvendes mere end én gang. Hvis vi har en gæld, som forrentes én gang om året, og vi skylder i fem år, vil gælden blive forrentet fem gange — så taler vi om rentes rente.

Rentes rente

Hvis gælden forrentes flere gange, taler man om rentes rente. I den foregående formel brugte vi procent, i den følgende bliver det enklere at omregne procenterne til et almindeligt decimaltal. Det gør vi enkelt ved at dividere procenterne med hundrede. Hvis renten var 50 %, får du værdien 0,5, altså en halv. Hvis renten var 7 %, får du tallet 0,07. Dette decimaltal vil jeg betegne med bogstavet »r«. Formlen kunne se sådan ud:

$$r=\frac{\text{rentefod}}{100}$$

Hvis vi ganger gælden med dette tal, får vi direkte renten. Lad os antage, at onkel Vik har lånt os to millioner kroner med en årlig rente på 10 %. Som decimaltal 0,1. Efter ét år har vi altså renten 2.000.000 · 0,1 = 200.000. Vi betaler altså 200.000 mere, end vi lånte. Hvor stor bliver renten det næste år? Vi må tage det oprindelige beløb, lægge den første rente til og igen gange med 0,1:

$$(2.000.000+200.000)\cdot 0,1=220.000$$

Et år senere ville vi allerede betale 220.000 i rente, altså mere end det første år.

Hvis vi vil have direkte gælden og ikke kun renten, er det nok at lægge 1 til rentefoden i form af decimaltal og gange gælden med dette udtryk:

$$2.000.000\cdot 1,1=2.200.000$$

Efter det første år ville vi altså skylde 2.200.000. Hvis vi vil beregne gælden efter tre år, ganger vi med 1,1 flere gange efter hinanden:

$$((2.000.000\cdot 1,1)\cdot 1,1)\cdot 1,1=2.662.000$$

Heraf tegner der sig langsomt en formel, for ved multiplikation er rækkefølgen og parenteserne uden betydning, så vi kan omskrive udtrykket sådan her:

$$2.000.000\cdot (1,1\cdot 1,1\cdot 1,1)$$

Og det skriver vi nu bare om ved hjælp af potenser:

$$2.000.000\cdot 1,1^3$$

Heraf kan vi let udlede den generelle formel.

Den endelige formel for rentes rente

Her følger formlen for hele rentes rente, som jeg forklarer nedenfor:

$$K_n=K_0\cdot (1+r{)}^n$$

Bogstavet »K« står for kapitalen, altså gælden. Det nedre indeks angiver, hvor mange forrentninger der allerede er foretaget. Symbolet K₀ betegner derfor det beløb, som endnu ikke har været gennem nogen forrentning — det er det beløb, vi fik i begyndelsen (to millioner fra onkel Vik). Bogstavet »n« angiver antallet af forrentninger, som vi vil beregne. Hvis vi vil regne ti år frem, gælder n = 10. Symbolet K_n betegner så den resulterende gæld efter n forrentninger. Bogstavet »r« betegner rentefoden som decimaltal (se ovenfor).

Lad os prøve at beregne, hvor meget vi ville have betalt i rente, hvis vi først havde betalt hele beløbet tilbage til onkel Vik efter 15 år:

$$K_n=K_0\cdot (1+r{)}^n=2.000.000\cdot (1+0,1{)}^{15}=8.354.496$$

Bemærk, at dette ikke direkte er renten, men den resulterende gæld. Hvis vi kun ville have renten, skulle vi trække den oprindelige gæld fra, altså de to millioner: 6.354.496.

Eksempel

Oscar ville købe en ny bil, men han havde selvfølgelig ikke råd til den, så han lånte en halv million, 500.000. Rentefoden var 8 %, og renterne blev tilskrevet én gang om året. Oscar var ret ødsel, så det første år betalte han kun tyve tusind af, 20.000. Gælden faldt til 480.000. Men ved årsskiftet blev der tilskrevet renter, og det endte med, at renten blev beregnet til 480.000 · 0,08 = 38.400. Nytårsdag skyldte Oscar altså allerede 480.000 + 38.400 = 518.400. Det er mere end i begyndelsen.

Det bekymrede ikke Oscar det mindste, og han betalte igen kun 20.000 af. Han skyldte altså 498.400. Efter forrentningen sprang det op på 538.272. Gælden var højere end sidste år og end året før. Det gik ikke op for Oscar, og han blev ved med kun at betale 20.000 af om året. Han betalte af resten af livet og døde alligevel med en gæld på mange millioner. Sådan skal det helst ikke gå.

Videre læsning

Eulers tal hænger tæt sammen med rentes rente. Husk derfor at læse, hvor Eulers tal kommer fra. Og rentes rente får du brug for, hvis du vil vide, hvordan du beregner renten på et boliglån.