Logaritmefunktioner

Logaritmefunktionen er den omvendte funktion til eksponentialfunktionen.

Hvad er en logaritme

Logaritmefunktionen skriver vi med ordet log, og hvis der er tale om den naturlige logaritme (se nedenfor), betegner vi den ln. Den grundlæggende forskrift for logaritmefunktionen ser sådan ud:

$$y={\log }_{a}x$$

Den skrivemåde læser vi: »Logaritmen af tallet x med grundtal a«. Denne logaritmefunktion er omvendt til eksponentialfunktionen f(x) = a^x. Funktionsværdien af logaritmefunktionen kaldes logaritmen.

Fordi logaritmefunktionen er omvendt til eksponentialfunktionen, må følgende ensbetydende udsagn gælde:

$$y={\log }_{a}x\iff a^y=x$$

Så hvis værdien a^y er lig med x, så er logaritmen af x med grundtal a lig med y. Vi prøver at vise nogle eksempler. Tag eksponentialfunktionen f(x) = 2^x. Hvordan ville den omvendte funktion (logaritmefunktionen) se ud? Sådan her: f⁻¹(x) = log₂x. Hvis vi indsætter tre i eksponentialfunktionen, får vi: f(3) = 2³ = 8.

Hvilken sammenhæng må nu gælde? Der må gælde, at hvis vi sætter otte ind i den omvendte funktion f⁻¹, skal logaritmefunktionen give os tre tilbage. Fordi tallet 3 var eksponentialfunktionens argument, og tallet 8 var resultatet. Den omvendte funktion opfører sig omvendt, input er tallet 8 og output er tallet 3. Du kan for eksempel tjekke i Google, at det virkelig forholder sig sådan (lg betegner logaritme med grundtal to).

Så når vi skriver 2³ = 8, giver den omvendte logaritmefunktion os sammenhængen: log₂8 = 3. Hvad er så en logaritme? Logaritmen er den eksponent, som vi skal opløfte grundtallet i for at få argumentet x.

Vigtige logaritmefunktioner

Nogle logaritmefunktioner er særligt vigtige. Det drejer sig konkret om den »naturlige logaritme«, som har Eulers tal som grundtal. Det betegner vi med bogstavet e. Det er et irrationalt tal, altså et tal med en uendelig, ikke-periodisk decimalfremstilling. Dets tilnærmede værdi er: e = 2,718 281.828…. Den naturlige logaritme skriver vi enten som log_ex eller enklere som ln x. Bogstavet »n« er fra latin »logarithmus naturalis«, men for at huske det er det nok at tænke på engelsk, hvor det ligner: »natural« = »naturlig«.

En anden betydningsfuld logaritme er »10-talslogaritmen«, som er logaritmefunktionen med grundtal ti. Almindeligvis skriver vi den enten som log₁₀x eller bare log x. Hvis der ikke er angivet noget grundtal ved logaritmen, forudsætter man grundtal 10.

Egenskaber ved logaritmefunktionen

Som vi allerede ved, er logaritmefunktionen omvendt til eksponentialfunktionen. Derfor overtager den også nogle af dens egenskaber og begrænsninger. Vi ved, at eksponentialfunktionen har formen f(x) = a^x, hvor a er et reelt tal, som er større end nul og forskelligt fra ét. Derfor skal også logaritmens grundtal a være større end nul og forskelligt fra ét. Så endnu en gang forskriften for logaritmefunktionen:

$$y={\log }_{a}x,a\in \mathbb{R},a>0,a\ne 1$$

Fordi der er tale om en omvendt funktion, kender vi også allerede definitionsmængden og værdimængden. Det gælder, at logaritmefunktionens definitionsmængde er den samme som eksponentialfunktionens værdimængde, så logaritmefunktionens definitionsmængde er lig med ]0; ∞[. Logaritmens værdimængde er så den samme som eksponentialfunktionens definitionsmængde, altså mængden af alle reelle tal.

Grafer for logaritmefunktioner

Ligesom ved eksponentialfunktionen må vi skelne mellem to tilfælde. Når grundtallet a ligger i intervallet ]0; 1[, og når det ligger i intervallet ]1; ∞[. I det første tilfælde, altså når a ligger i intervallet ]0; 1[, ser grafen sådan ud:

Hvis grundtallet a ligger i intervallet ]1; ∞[, ser grafen sådan ud:

Se også grafen for eksponentialfunktionen og dens omvendte logaritmefunktion i samme koordinatsystem (blå er logaritmefunktionen, rød er eksponentialfunktionen):

Hvorfor graferne går gennem punktet (1, 0)

Begge grafer skærer x-aksen i punktet x = 1. Det er i orden, eftersom enhver eksponentialfunktion går gennem punktet (0, 1). Fordi logaritmefunktionen er den omvendte funktion, må denne funktion altid gå gennem punktet (1, 0). Det er der en logik i. Hvis grafen går gennem punktet (1, 0), betyder det, at for funktionens input x = 1 har vi output f(x) = 0.

For logaritmer betyder det, at vi leder efter den eksponent, som vi skal opløfte grundtallet i for at få ét. Hvilken eksponent er det? Kun nul. Alt opløftet i nul er ét, og derfor går logaritmefunktionen gennem punktet (1, 0), uanset hvad grundtallet er, for alt opløftet i nul er ét. (Bemærk: husk, at grundtallet ikke kan være helt hvad som helst: a>0 og a ≠ 1.)

Regneregler for logaritmer

Her følger nogle vigtige sammenhænge og formler, som gælder for logaritmer:

Antag, at grundtallet a virkelig er grundtal for en logaritme, altså a>0, a ≠ 1. Lad desuden x₁ og x₂ være vilkårlige positive reelle tal. Så gælder:

$$\begin{array}{rcl}{\log }_a(x_1\cdot x_2)& =& {\log }_a{x}_1+{\log }_a{x}_2\\ {\log }_a\left(\frac{x_1}{x_2}\right)& =& {\log }_a{x}_1-{\log }_a{x}_2\\ {\log }_a{x}^r& =& r\cdot {\log }_{a}x\mathrm{\forall }r\in \mathbb{R}\\ {\log }_a\sqrt[n]{x}& =& \frac{1}{n}{\log }_{a}x\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}\end{array}$$

Nogle sammenhænge, som følger direkte af definitionen af logaritmen:

$$\begin{array}{rcl}{\log }_{a}1& =& 0(a^0=1)\\ {\log }_{a}a& =& 1(a^1=a)\\ a^{{\log }_{a}x}& =& {\log }_a{a}^x=x\end{array}$$

Hvordan man udtrykker en anden logaritme ved hjælp af den naturlige logaritme

Nogle gange sker det, at vi for eksempel på lommeregneren ikke har en logaritme med et vilkårligt grundtal til rådighed, men kun den naturlige og 10-talslogaritmen. Hvad skal man gøre, hvis man skal beregne en logaritme med et andet grundtal? Der findes en formel, som kan hjælpe dig. Der gælder nemlig, at:

$${\log }_{a}x=\frac{{\log }_{b}x}{{\log }_{b}a}$$

Hvis vi vælger Eulers tal som værdi for b, får vi dermed formlen:

$${\log }_{a}x=\frac{\ln x}{\ln a}$$

I det første afsnit skulle vi beregne logaritmen af tallet 8 med grundtal 2. Det kan vi ved hjælp af den naturlige logaritme beregne sådan her:

$${\log }_{2}8=\frac{\ln 8}{\ln 2}=3$$

Udregningen kan vi igen kontrollere i Google. Du behøver dog ikke bruge den naturlige logaritme, du kan roligt bruge 10-talslogaritmen, formlen tillader det. Så det gælder lige så godt, at:

$${\log }_{2}8=\frac{\log 8}{\log 2}=3$$

(Husk, at hvis der ikke er angivet noget grundtal, forudsætter man grundtal a = 10.) Igen kontrol i Google.

Beregner

Hvis du skal beregne en logaritme, kan du bruge vores beregner til logaritmer 🧮.