Afrunding

Afrunding er en måde at forenkle uhåndterlige tal til pæne tal. Tallet 98 er for eksempel unødvendigt indviklet, og vi kunne forenkle det til det smukke tal 100.

Tal med nogenlunde samme værdi

Meningen med afrunding er at tage et tal, som ganske vist er præcist, men for kompliceret, og lave det om til et tal, der har nogenlunde samme værdi og er enklere. Som regel behøver vi ikke at vide, at en bil kører med farten 61,49 km/t, det er rigeligt for os at vide, at den kører tres. Den fremgangsmåde, hvor vi gør tallet 61,49 til tallet 60, kalder vi så afrunding.

Princippet i afrunding

Først viser vi, hvordan man afrunder tal til hele tiere. Det betyder, at det resulterende tal skal være deleligt med ti uden rest. Tallet 57 er ikke deleligt med ti uden rest, men tallene 80 eller 150 er. Alle tal, der er delelige med ti, har et nul på enerpladsen (det sidste ciffer).

Nu handler det om, til hvilket tal vi skal afrunde 57. Vi går naturligvis frem efter nærhed — hvilke er de nærmeste tal, som er delelige med ti? Vi har i princippet to kandidater, et tal mindre end 57 og et tal større end 57. Det første tal, som er mindre end 57 og deleligt med ti, er tallet 50. På den anden side får vi tallet 60.

57 ligger dog tættere på 60 end på 50, fordi afstanden fra 60 til 57 er 3 (60 − 57), og afstanden fra 57 til 50 er 7 (57 − 50). Derfor gælder det, at 57 afrundet til tiere er lig med 60. Tallet 60 er det nærmeste tal, som er deleligt med ti.

Men hvad sker der, når vi skal afrunde tallet 55 til tiere? Det tal har nemlig lige langt til tallet 50 og til tallet 60, fordi afstanden til dem begge er 5. I så fald runder vi op, altså til det højere tal. Tallet 55 ville vi således afrunde til 60. (Nogle gange bruges, især af tekniske grunde, også andre fremgangsmåder.)

Reglerne for afrunding

Igen antager vi afrunding til hele tiere.

Vi kan i princippet afrunde på to måder. Den første er at runde ned, altså at vi gør det oprindelige tal mindre. Vi runder ned, når det sidste ciffer er fra 0 til 4. Tallet 23 afrunder vi for eksempel til 20, fordi det sidste ciffer er tre. Tallet 54 til 50, fordi det sidste ciffer er fire. Tallet 80 til 80. Pas på, vi runder bestemt ikke ned til 70, hvis der står et nul, tallet ændrer sig ikke.

Den anden måde at afrunde på er op, og det oprindelige tal bliver så større. Vi runder op, når det sidste ciffer er fra 5 til 9. Så 19 afrunder vi til 20, 56 til 60, 88 til 90. Vi runder også op, hvis tallet ender på cifferet 5, dvs. 15 afrunder vi til 20, 75 til 80 osv.

Hvis tallet ender på 0, 1, 2, 3 eller 4, runder vi ned. Hvis det ender på 5, 6, 7, 8 eller 9, runder vi op.

Afrunding efter pladser

Indtil nu har vi altid kun afrundet til hele tiere. Men vi kan vælge enhver anden plads, som vi vil afrunde til. Med plads menes tiere, hundreder, tusinder …

Hvis vi afrunder et tal til hundreder, betyder det, at vi vil have, at tallet skal være deleligt med hundrede uden rest. Tallet 1853 er ikke deleligt med hundrede, tallet 7200 er deleligt med hundrede. Tilsvarende for de andre pladser. Sådanne tal kendetegnes altid ved, at de har et vist antal nuller til sidst. Et tal, der er deleligt med ti, har til sidst mindst ét nul (det kan have flere, tallet 7200 er selvfølgelig også deleligt med ti), et tal, der er deleligt med hundrede, har to nuller, et tal, der er deleligt med tusind, har tre nuller osv.

Hvis vi vil afrunde et tal til hundreder, leder vi altså efter det nærmeste tal, som er deleligt med hundrede. Så tallet 389 ville vi afrunde til 400, fordi dette tal ligger tættere på 389 end 300.

Reglerne ved afrunding efter pladser

Fremgangsmåden er stort set den samme som ved afrunding til tiere, bare ser vi ikke på tallets sidste ciffer, men på det første ciffer, som skal blive til nul.

Ved tiere er det det første ciffer fra højre, ved hundreder det andet ciffer fra højre, ved tusinder det tredje ciffer fra højre …

Vi prøver fremgangsmåden på tallet 6482, som vi afrunder til hele hundreder. Det resulterende tal skal ende på mindst to nuller, så vi ser på det andet ciffer fra højre. Det er cifferet 8. Cifferet 8 fortæller os, at vi skal runde op, det er det samme som før. Vi øger således værdien af det tredje ciffer fra højre, dvs. cifferet 4, med en og nulstiller de sidste to cifre — vi får 6500. Det er det nærmeste højere tal, som er deleligt med hundrede.

Vi prøver at afrunde det samme tal, 6482, til tusinder. Vi skulle gerne få et tal, hvor de sidste tre cifre er nuller. Vi ser på det tredje ciffer fra højre, dvs. 4. Det fortæller os, at vi skal runde ned. Nu ændrer værdien af det fjerde ciffer fra højre sig ikke, vi sætter bare cifferet 0 i stedet for de sidste tre cifre, så vi får 6000.

Decimaltal

Vi kan også afrunde decimaltal, og igen afhængigt af, til hvilken plads vi afrunder. Tallet 96,6 kan vi for eksempel afrunde til hele enere, altså til 97. Det fungerer på samme måde ved mindre tal. Tag nu tallet 0,327. Når vi vil afrunde dette tal til hundrededele, kigger vi på det tredje ciffer efter decimalkommaet, vi finder ud af, at der står et syvtal, det runder vi op, så vi afrunder til 0,330. Ved decimaltal gælder det, at vi ikke behøver at skrive nuller til sidst. Tallet 3,200 er det samme som 3,2. Så det foregående resultat efter afrundingen kan vi omskrive til 0,33. Hvis vi ville afrunde det oprindelige tal til tiendedele, ville resultatet blive 0,3.

Gentagen afrunding

Hvis vi skal afrunde et tal til en plads, ser vi altid kun på én plads længere nede. Vi går ikke frem på den måde, at vi afrunder trin for trin til alle pladser. Tag for eksempel tallet 746. Når vi afrunder det til hundreder, får vi tallet 700, fordi vi ser på det andet ciffer fra højre, og det er 4, og det runder vi ned.

Men vi kunne teoretisk først afrunde tallet til tiere, og så ville vi få tallet 750, fordi cifferet 6 fortæller os, at vi skal runde op. Først nu ville vi afrunde til hundreder — vi ville få 800, ikke 700, fordi vi nu afrunder efter cifferet 5, ikke efter cifferet 4.

Denne fremgangsmåde kalder vi gentagen afrunding, og den bruger vi som regel ikke, fordi den er langsommere og mindre præcis.