Addition, subtraktion, multiplikation og division af brøker

Med en brøk kan vi skrive ethvert rationalt tal. En brøk består af to dele. Den øverste del kaldes tæller og den nederste nævner. Der findes også en sammensat brøk, som ikke er andet end en brøk, der har endnu en brøk i tælleren eller nævneren. Og i øvrigt skrives alle tegn mellem brøker (plus, minus, lighedstegn osv.) altid i højde med brøkstregen, ikke i højde med tælleren eller nævneren. Og i det hele taget, ved du, at fem ud af fire har problemer med brøker?

Grundlæggende oplysninger

En brøk har følgende form:

$$\frac{\text{tæller}}{\text{nævner}}$$

Et eksempel på en brøk kan være brøken

$$\frac{2}{5},$$

altså to femtedele. Nævneren hedder nævner, fordi den nævner brøken. Femtedel, tredjedel, sjettedel … det er brøkens hovednavn, og det er afledt af tallet under brøkstregen. Tælleren angiver til gengæld antallet, i det foregående eksempel var det to femtedele. Så meget om navnene.

I tælleren og nævneren kan der i princippet stå et hvilket som helst tal eller igen en brøk, men oftest møder vi en brøk, hvor både tæller og nævner er et naturligt tal.

En brøk er bare en anden måde at skrive division på, og værdien af en brøk finder vi ved at dividere tælleren med nævneren. Så hvis vi generelt har brøken $\frac{a}{b}$, er brøkens værdi tallet a/b. Den foregående brøk (to femtedele) har så værdien 2/5, som er 0,4.

Omskrivning til uforkortelig brøk

Vi kan arbejde med brøker på forskellige måder og ændre deres form — forlænge og forkorte dem —, uden at brøkens værdi ændrer sig. Det er også let at forestille sig med ord, for eksempel har en halv samme værdi som to fjerdedele eller fire ottendedele. Det kommer af, at en brøk blot er en division i andre klæder. Og til tallet en halv kan vi komme ved at dividere flere forskellige tal. Fire divideret med otte er en halv. Ti divideret med tyve er også en halv. Derfor har brøkerne

$$\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{3}{6}=\frac{4}{8}=\dots =\frac{10}{20}=\dots$$

samme værdi.

Som man kan se, nåede vi frem til de andre brøker med samme værdi ved at gange både tæller og nævner i den oprindelige brøk 1/2 med to. Efter multiplikationen fik vi brøken 2/4, to fjerdedele. Hvis vi også i denne brøk ganger tæller og nævner med to, får vi brøken 4/8, fire ottendedele. Det, vi gjorde her, var at forlænge brøken.

Den modsatte operation til at forlænge er at forkorte brøker, hvor vi dividerer både tæller og nævner med det samme tal. Hvis vi vil forkorte en brøk, skal vi finde et tal, som både tælleren og nævneren er delelige med uden rest. At forkorte brøker bruges i praksis meget ofte, for ved at forkorte bliver brøken væsentligt enklere, og den er lettere at arbejde med. Hvis vi har brøken 12/18, kan vi ved et hurtigt blik se, at begge tal er lige og dermed delelige med to. Vi kunne selvfølgelig forkorte brøken med to, men ved at kigge en gang til kan vi se, at både tæller og nævner også er delelige med seks. Hvis vi forkorter brøken med seks, får vi en enklere brøk, end hvis vi kun havde forkortet med to. Derfor forkorter vi brøken med seks. Vi får brøken 2/3.

Denne brøk kan ikke forkortes yderligere, for der findes intet tal (større end én), som vi kan dividere både tæller og nævner med uden rest. En brøk, som ikke kan forkortes yderligere, kalder vi uforkortelig. Prøv altid at arbejde med uforkortelige brøker, og hvis du skal arbejde med brøker et sted, så se først efter, om nogle af brøkerne kan forkortes. Du sparer tid. Endnu et eksempel:

$$\frac{24}{42}$$

Hvilket tal er både 24 og 42 delelige med? Det er begge lige tal, så helt sikkert to. Vi dividerer både tæller og nævner med to:

$$\frac{24}{42}=\frac{12}{21}$$

Findes der et tal, som går op i begge tal? Ja, denne gang tre.

$$\frac{12}{21}=\frac{4}{7}$$

Findes der stadig et tal, som går op i både tæller og nævner? Det gør der ikke, brøken er uforkortelig.

Multiplikation af brøker

Du vil måske blive overrasket, men multiplikation og division er lettere ved brøker end addition og subtraktion. Hvis du skal gange to brøker, ganger du bare tælleren i den første brøk med tælleren i den anden brøk og nævneren med nævneren. Det er det hele. Et eksempel på multiplikation af brøker:

$$\frac{2}{3}\cdot \frac{5}{7}=\frac{2\cdot 5}{3\cdot 7}=\frac{10}{21}$$

Ved multiplikation af brøker findes der desuden en anden måde at forkorte på. Du behøver ikke kun forkorte inden for én brøk, men du kan forkorte på kryds og tværs. Hvis du kan forkorte tælleren i den første brøk med nævneren i den anden brøk, kan du gøre det og gøre multiplikationen lettere. Eksempel (de forkortede tal er fremhævet):

$$\frac{\boxed{\text{4}}}{5}\cdot \frac{3}{\boxed{\text{8}}}=\frac{1}{5}\cdot \frac{3}{2}=\frac{3}{10}$$

Hvad gjorde vi? Vi dividerede både fireren og ottetallet med fire. Produktets værdi er uændret. Hvis vi ikke havde forkortet nu, kunne vi have forkortet efter multiplikationen.

Multiplikation af en brøk med et helt tal omskriver du simpelthen til multiplikation af to brøker ved at skrive det hele tal c som c/1:

$$\frac{3}{7}\cdot 5=\frac{3}{7}\cdot \frac{5}{1}=\frac{3\cdot 5}{7\cdot 1}=\frac{15}{7}$$

Som man kan se, er det, når du ganger en brøk med et helt tal, nok at gange brøkens tæller med dette tal.

$$c\cdot \frac{a}{b}=\frac{ac}{b}$$

Division af brøker

Division af brøker er stort set det samme som multiplikation. Hvis du vil dividere en brøk med en anden, vender du den anden brøk (divisoren) om og ganger brøkerne som normalt. Et enkelt eksempel på division af brøker (læg mærke til, at vi kan forkorte 12 og 6, når vi har vendt brøken om):

$$\frac{12}{7}:\frac{6}{11}=\frac{12}{7}\cdot \frac{11}{6}=\frac{2}{7}\cdot \frac{11}{1}=\frac{22}{7}$$

Vi omskrev division til multiplikation ved at vende brøken $\frac{6}{11}$ om til brøken $\frac{11}{6}$ og gange med den anden uændrede brøk. Hvorfor virker det sådan? Det er nok at forestille sig det med et enklere eksempel, for eksempel division med en halv. Hvis vi dividerer

$$\frac{10}{1/2}=?,$$

hvad gør vi egentlig? Vi finder ud af, hvor mange gange en halv går op i ti. I hver enhed går en halv præcis to gange (to gange en halv er en), så i ti går den tyve gange. Til samme resultat kommer vi, når vi ganger to med ti — også tyve. Og hvilken værdi får vi, når vi vender en halv om? To hele, som er to.

$$\frac{1}{2}\to \frac{2}{1}=2$$

Samlet har vi:

$$\frac{10}{1/2}=10\cdot \frac{2}{1}=10\cdot 2=20.$$

Addition af brøker

Addition af brøker er allerede lidt mere kompliceret. Brøker kan vi nemlig kun lægge sammen, hvis de har samme nævner. Hvis brøkerne ikke har samme nævner, må vi omskrive dem til samme nævner. Derefter går vi frem helt enkelt som ved multiplikation, vi lægger bare tælleren i den første brøk sammen med tælleren i den anden brøk. I modsætning til multiplikation beholder vi dog den samme nævner. Først et eksempel på addition af brøker med samme nævner:

$$\frac{1}{2}+\frac{5}{2}=\frac{6}{2}=3$$

Giver det mening? En halv plus fem halve er lig med seks halve — det giver ret god mening.

Hvis brøkerne ikke har samme nævner, hvilket er det almindeligste, må vi omskrive brøkerne til fælles nævner, hvilket betyder at forlænge den ene eller begge brøker, så vi får samme nævner. Lad os sige, at vi vil lægge disse to brøker sammen:

$$\frac{2}{3}+\frac{5}{2}=?$$

Den første brøk har tre i nævneren, den anden brøk to. Lige nu kan vi dårligt lægge dem sammen, men hvis vi forlænger den første brøk med to, får den seks i nævneren, og hvis vi forlænger den anden brøk med tre, får den også seks i nævneren. Nu har begge brøker samme nævner, og vi kan blot lægge dem sammen. Så i første trin forlænger vi brøkerne, så de har samme nævner:

$$\frac{2}{3}+\frac{5}{2}=\frac{2\cdot 2}{3\cdot 2}+\frac{5\cdot 3}{2\cdot 3}=\frac{4}{6}+\frac{15}{6}$$

Og nu lægger vi blot tællerne sammen og lader nævneren være den samme:

$$\frac{4}{6}+\frac{15}{6}=\frac{19}{6}$$

Pas på, at vi ved addition ikke kan forkorte på tværs af brøkerne som ved multiplikation. Efter omskrivningen havde vi for eksempel seks i nævneren i den første brøk og femten i tælleren i den anden brøk. Alligevel kan vi ikke forkorte med tre:

$$\frac{4}{\boxed{\text{6}}}+\frac{\boxed{\text{15}}}{6}\ne \frac{4}{2}+\frac{5}{6}$$

Denne forkortning kunne vi kun tillade os, hvis vi gangede brøkerne:

$$\frac{4}{\boxed{\text{6}}}\cdot \frac{\boxed{\text{15}}}{6}=\frac{4}{2}\cdot \frac{5}{6}$$

Hvordan omskriver man i almindelighed to brøker til fælles nævner? Den første brøk forlænger vi med nævneren i den anden brøk, og den anden brøk forlænger vi med nævneren i den første brøk. I almindelighed kan vi skrive det sådan:

$$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad}{bd}+\frac{bc}{bd}$$

Den første brøk har vi forlænget med udtrykket d, som er nævneren i den anden brøk. Den anden brøk har vi forlænget med udtrykket b, som er nævneren i den første brøk. Et konkret eksempel:

$$\frac{7}{4}+\frac{9}{8}=\frac{7\cdot 8}{4\cdot 8}+\frac{9\cdot 4}{8\cdot 4}$$

Den første brøk har vi forlænget med otte, den anden brøk med fire. Efter dette kan vi allerede lægge brøkerne sammen.

Den generelle formel for addition af brøker ville så se sådan ud:

$$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}$$

Subtraktion af brøker

Subtraktion af brøker foregår helt på samme måde som addition af brøker, bortset fra at vi ikke lægger de nye tællere sammen, men trækker dem fra hinanden. Så vi ændrer den foregående generelle formel for addition sådan:

$$\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{ad-bc}{bd}$$

Et konkret eksempel; først omskriver vi til fælles nævner:

$$\frac{7}{9}-\frac{2}{5}=\frac{7\cdot 5}{9\cdot 5}-\frac{2\cdot 9}{5\cdot 9}=\frac{35}{45}-\frac{18}{45}$$

Og nu trækker vi blot tællerne fra hinanden og lader nævnerne være de samme:

$$\frac{35}{45}-\frac{18}{45}=\frac{35-18}{45}=\frac{17}{45}$$

Krydsmultiplikation

Ved ligninger kan vi bruge krydsmultiplikation, som forenkler en lighed mellem to brøker. I praksis er det ikke andet end to ækvivalente omformninger af den givne ligning. Tag en ligning med to brøker

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}.$$

Denne ligning kan vi omskrive ved at gange den med nævneren i den første og derefter også i den anden brøk. Først ganger vi ligningen med nævneren i den første brøk, altså udtrykket b. Vi får

$$\frac{ab}{b}=\frac{bc}{d}.$$

Derefter ganger vi ligningen med udtrykket d og får

$$\frac{abd}{b}=\frac{bcd}{d}.$$

I den første brøk forkorter vi b og i den anden d. Resultatet er ligningen

$$ad=bc.$$

Dette kan vi derfor betragte som en formel: Har vi en ligning, hvor der står en brøk på hver side, kan vi omskrive den på følgende måde:

$$\begin{array}{rcl}\frac{a}{b}& =& \frac{c}{d}\to \\ ad& =& bc\end{array}$$

Et eksempel følger. I første trin skriver vi brøkerne op efter den foregående formel, og i andet trin omskriver vi blot let udtrykkene på begge sider.

$$\begin{array}{rcl}\frac{x+2}{x}& =& \frac{3x}{x+2}\\ (x+2)(x+2)& =& x\cdot 3x\\ (x+2{)}^2& =& 3x^2\end{array}$$

Derefter ville ligningen blive regnet færdig som en klassisk andengradsligning, men det ligger uden for denne artikels emne.

Relaterede emner

Brøker optræder ofte, når man forenkler udtryk, og det handler artiklen om brøkudtryk om. Specielt findes der en algoritme til division af et polynomium med et polynomium.