Enhedsmetoden

Enhedsmetoden bruges ved enkle beregninger med ligefrem og omvendt proportionalitet. Som regel kender vi tre størrelser, der afhænger af hinanden, og skal beregne en fjerde. Ved enhedsmetoden må vi omhyggeligt skelne mellem ligefrem og omvendt proportionalitet, for de regnes forskelligt.

Motivation

Du går i butikken for at købe en forsyning sodavand. For 100 kr. har du købt 5 flasker sodavand. Hvor mange sodavand ville du købe, hvis du havde 200 kr.? Det er et typisk eksempel, som kan løses med enhedsmetoden.

Nu kan vi gøre en enkel overvejelse — i det første tilfælde havde vi 100 kr. til rådighed, i det andet 200 kr. Vi kan derfor forvente, at hvis vi har dobbelt så mange kroner til rådighed, kan vi købe dobbelt så mange flasker for dem. For 200 kr. ville vi således købe 2 · 5 = 10 sodavand.

Den foregående fremgangsmåde »jo flere … jo flere« er ikke helt selvfølgelig, for vi kan have følgende eksempel: 10 murere bygger et hus på fire måneder. Hvor lang tid tager det 20 murere at bygge huset? Hvis vi bruger den foregående fremgangsmåde — der er dobbelt så mange murere, så der bliver dobbelt så mange måneder — får vi, at 20 murere ville bygge huset på 2 · 4 = 8 måneder.

Denne fremgangsmåde er selvfølgelig ikke korrekt, for jo flere murere, jo færre måneder tager det dem at bygge huset. Vi må derfor gå frem omvendt: dobbelt så mange murere bygger huset på det halve af tiden. Vi får så det rigtige resultat: 20 murere bygger huset på 4/2 = 2 måneder.

De to foregående fremgangsmåder har også hver sit navn: ligefrem og omvendt proportionalitet.

Ligefrem proportionalitet

Hvis det gælder, at »jo flere … jo flere«, er der tale om ligefrem proportionalitet. Eksempler:

• Jo flere penge vi har, jo flere sodavand/agurker/løbehjul kan vi købe.
• Jo flere artikler en journalist skriver, jo flere penge tjener han.
• Jo flere gravere der graver, jo mere får de gravet op.
• Jo længere tid vi lader pumpen pumpe, jo mere vand pumper vi op.

Eksempel: En bil bruger 6 liter benzin på 100 kilometer. Hvor mange liter benzin bruger den, når den har kørt 250 kilometer? Det er et eksempel på ligefrem proportionalitet, for det gælder, at jo længere bilen kører, jo mere benzin bruger den.

Fremgangsmåde: Først skriver vi op, hvad vi kender. Det gør vi i følgende tabel, som giver os overblik over, hvad vi kender, og hvad vi vil beregne:

$$\begin{array}{rcl}100\text{ km}& \dots & 6\text{ liter}\\ 250\text{ km}& \dots & x\text{ liter}\end{array}$$

I den første række har vi skrevet de oplysninger op, som vi kender helt. I den anden række har vi til højre den oplysning, som vi ikke kender, og til venstre den oplysning, som vi vil beregne den ubekendte for. I søjlerne skal der altid stå de samme oplysninger, i dette tilfælde skal der i en søjle enten altid stå kilometer eller altid liter.

Der findes en huskeregel, som hjælper dig med at regne dette eksempel. Først tegner du til højre en pil nedefra og op, sådan her:

$$\begin{array}{rcl}100\text{ km}& \dots & 6\text{ liter}\\ 250\text{ km}& \dots & x\text{ liter}\uparrow \end{array}$$

Hvis der er tale om ligefrem proportionalitet, tegner vi til venstre den samme pil, nedefra og op:

$$\begin{array}{rcl}100\text{ km}& \dots & 6\text{ liter}\\ \uparrow 250\text{ km}& \dots & x\text{ liter}\uparrow \end{array}$$

I næste trin opstiller vi brøker af søjlerne i pilenes retning. Tælleren svarer til det tal, hvor pilen begynder, og nævneren til det tal, hvor pilen ender. Disse brøker sætter vi lig med hinanden. Af den første søjle (kilometer) får vi således brøken $\frac{250}{100}$ og af den anden (liter) brøken $\frac{x}{6}$. Skrevet som en ligning:

$$\frac{250}{100}=\frac{x}{6}$$

Det er en almindelig lineær ligning, som vi kan løse med ækvivalente omformninger. Vi ganger hele ligningen med seks, og dermed slipper vi af med brøken på højre side:

$$6\cdot \frac{250}{100}=x$$

Nu mangler vi bare at beregne x:

$$x=6\cdot \frac{250}{100}=6\cdot \frac{5}{2}=\frac{30}{2}=15$$

Resultatet er, at bilen efter 250 kilometer bruger 15 liter benzin.

Omvendt proportionalitet

Hvis det gælder, at »jo flere … jo færre«, er der tale om omvendt proportionalitet. Eksempel:

• Jo flere mennesker der deler en pizza, jo mindre et stykke får hver enkelt.
• Jo hurtigere internet vi har, jo før downloader vi en film.
• Jo hurtigere vi kører, jo før kommer vi frem.
• Jo flere arbejdere der arbejder på huset, jo før er huset bygget.

Eksempel: På din computer har du internet med en hastighed på 2 MB pr. sekund, og du har downloadet en optagelse af en koncert på 450 sekunder. Hvor lang tid ville det tage dig at downloade den samme koncert, hvis du havde internet med en hastighed på 6 MB pr. sekund?

Fremgangsmåden bliver den samme som ved ligefrem proportionalitet — vi skriver oplysningerne op i en overskuelig tabel:

$$\begin{array}{rcl}2\text{ MB/s}& \dots & 450\text{ sekunder}\\ 6\text{ MB/s}& \dots & x\text{ sekunder}\end{array}$$

Nu pilene. Den højre pil bliver igen nedefra og op, her ændrer intet sig. Men fordi der er tale om omvendt proportionalitet, går den venstre pil i den modsatte retning, oppefra og ned.

$$\begin{array}{rcl}2\text{ MB/s}& \dots & 450\text{ sekunder}\\ \downarrow 6\text{ MB/s}& \dots & x\text{ sekunder}\uparrow \end{array}$$

Den videre fremgangsmåde er den samme — vi laver brøker af denne tabel, igen i pilenes retning. Vi får således brøkerne $\frac{2}{6}$ og $\frac{x}{450}$, som vi sætter lig med hinanden:

$$\frac{2}{6}=\frac{x}{450}$$

Vi ganger ligningen med 450:

$$450\cdot \frac{2}{6}=x$$

Og beregner x:

$$x=450\cdot \frac{2}{6}=450\cdot \frac{1}{3}=\frac{450}{3}=150$$

Koncerten downloader vi med den hurtigere forbindelse på 150 sekunder.

Læg mærke til, at fremgangsmåden stemmer med intuitionen. I det sidste trin dividerer vi 450 med tre, hvilket er forventeligt. Forøgelsen af hastigheden fra 2 MB/s til 6 MB/s er en tredobling, vi har tre gange så stor hastighed. Derfor ville vi forvente, at den tid, det tager at downloade filmen, kun bliver en tredjedel → og præcis det udtrykker brøken $\frac{450}{3}$.

Eksempler

Første eksempel: Et værelse på et luksushotel koster ti tusind fem hundrede kroner for syv nætter. Hvad vil det samme værelse koste os, hvis vi vil være der i tolv dage?

Først skriver vi oplysningerne op i en tabel:

$$\begin{array}{rcl}7\text{ dage}& \dots & 10.500\text{ kr.}\\ 12\text{ dage}& \dots & x\text{ kr.}\end{array}$$

Nu skal vi afgøre, om der er tale om ligefrem eller omvendt proportionalitet. Gælder det, at jo længere tid vi bliver der, jo mindre betaler vi? Nej, det modsatte gælder — jo længere tid vi er der, jo mere betaler vi. Der er altså tale om ligefrem proportionalitet. Vi tilføjer pilene:

$$\begin{array}{rcl}7\text{ dage}& \dots & 10.500\text{ kr.}\\ \uparrow 12\text{ dage}& \dots & x\text{ kr.}\uparrow \end{array}$$

Ved hjælp af pilene opstiller vi brøkerne:

$$\frac{12}{7}=\frac{x}{10.500}$$

Vi regner ligningen færdig:

$$\begin{array}{rcl}\frac{12}{7}& =& \frac{x}{10.500}\\ 10.500\cdot \frac{12}{7}& =& x\\ x& =& 10.500\cdot \frac{12}{7}\\ x& =& \frac{10.500\cdot 12}{7}\\ x& =& 18.000\end{array}$$

Værelset ville koste os 18.000 kr. for 12 dage.

Andet eksempel: 10 sæsonarbejdere plukker 50 kilo jordbær på en dag. Hvor mange kilogram jordbær plukker 7 sæsonarbejdere på en dag?

Vi skriver oplysningerne op i en tabel:

$$\begin{array}{rcl}10\text{ arb.}& \dots & 50\text{ kg}\\ 7\text{ arb.}& \dots & x\text{ kg}\end{array}$$

Er der tale om ligefrem eller omvendt proportionalitet? I dette eksempel er der en vis fælde, for i modsætning til de foregående eksempler har vi i rækken med den ubekendte et mindre antal arbejdere end i den første række. Lad dig ikke forvirre af det, der er stadig tale om ligefrem proportionalitet, for det gælder, at jo flere arbejdere, jo flere plukkede jordbær. Eller omvendt — jo færre arbejdere, jo færre jordbær. Det er også ligefrem proportionalitet. Så begge pile bliver nedefra og op.

$$\begin{array}{rcl}10\text{ arb.}& \dots & 50\text{ kg}\\ \uparrow 7\text{ arb.}& \dots & x\text{ kg}\uparrow \end{array}$$

Vi laver brøkerne:

$$\frac{7}{10}=\frac{x}{50}$$

og beregner x:

$$\begin{array}{rcl}\frac{7}{10}& =& \frac{x}{50}\\ 50\cdot \frac{7}{10}& =& x\\ x& =& 50\cdot \frac{7}{10}\\ x& =& 5\cdot 7\\ x& =& 35\end{array}$$

Syv sæsonarbejdere plukker 35 kilo jordbær på en dag.

Tredje eksempel: Lucas' gennemsnitlige skridtlængde er 80 cm. På vej hjem fra skole talte han, at han tog 1300 skridt. Hvor mange skridt ville han tage, hvis et skridt målte præcis en meter?

Først tabellen. Pas på, at vi i opgaveteksten har 80 cm og en meter. I tabellen skal vi dog have oplysningerne i den samme enhed, så i stedet for en meter bruger vi 100 cm — vi kunne også vælge den modsatte fremgangsmåde og skrive 1 meter og 0,8 meter.

$$\begin{array}{rcl}80\text{ cm}& \dots & 1300\text{ skridt}\\ 100\text{ cm}& \dots & x\text{ skridt}\end{array}$$

Og hvilken proportionalitet er det? Det gælder, at jo længere skridt vi har, jo færre skridt har vi brug for for at tilbagelægge en bestemt afstand, der er altså tale om omvendt proportionalitet. Den venstre pil bliver oppefra og ned, den højre pil nedefra og op.

$$\begin{array}{rcl}80\text{ cm}& \dots & 1300\text{ skridt}\\ \downarrow 100\text{ cm}& \dots & x\text{ skridt}\uparrow \end{array}$$

Brøkerne ser således ud:

$$\frac{80}{100}=\frac{x}{1300}$$

Vi isolerer og beregner x:

$$\begin{array}{rcl}\frac{80}{100}& =& \frac{x}{1300}\\ 1300\cdot \frac{80}{100}& =& x\\ x& =& 1300\cdot \frac{4}{5}\\ x& =& \frac{1300\cdot 4}{5}\\ x& =& 1040\end{array}$$

Lucas ville på den samme afstand kun have brug for 1040 skridt.

Formler

Som det kan ses af de foregående beregninger, er fremgangsmåderne altid de samme og fører til enkle formler. Først skriver vi tabellen op symbolsk:

$$\begin{array}{rcl}a& \dots & b\\ c& \dots & x\end{array}$$

Så gælder disse formler. For ligefrem proportionalitet:

$$x=b\cdot \frac{c}{a}$$

Og for omvendt proportionalitet:

$$x=b\cdot \frac{a}{c}$$