Retvinklet trekant

En retvinklet trekant har én ret indre vinkel, dvs. på 90 grader. Denne trekant har flere interessante egenskaber, som vi kommer ind på i denne artikel.

Grundlæggende beskrivelse

Den retvinklede trekant er allerede delvist beskrevet i hovedartiklen om trekanter. En retvinklet trekant har én indre vinkel på 90 grader. De to øvrige indre vinkler må nødvendigvis være mindre end 90 grader, for ellers ville summen af de indre vinkler ikke være lig med 180 grader. Det gælder endda, at summen af de to øvrige vinkler er netop 90 grader.

En retvinklet trekant har selvfølgelig tre sider, to af dem kaldes kateter (de røde sider), det er de kortere sider, og den tredje side kaldes hypotenusen (den blå side) — det er den længste side. Hypotenusen er altid over for det hjørne, hvor den rette vinkel er.

Pythagoras' sætning

Måske den mest berømte matematiske sætning overhovedet, Pythagoras' sætning, gælder netop i den retvinklede trekant. Pythagoras' sætning handler om størrelsen af trekantens sider. Sætningen siger, at »Arealet af kvadratet over hypotenusen i en retvinklet trekant er lig med summen af arealerne af kvadraterne over kateterne«. Matematisk skrevet for vores trekant, hvor hypotenusen er siden a:

$$a^2=b^2+c^2$$

Pythagoras' sætning på en figur, denne gang i den sædvanlige betegnelse med hypotenusen c: Sætningen behandles i en selvstændig artikel.

Arealet af en retvinklet trekant

I en retvinklet trekant kan vi meget enkelt beregne arealet, fordi højderne falder sammen med kateterne. Forestil dig den retvinklede trekant fra den første figur. Hvordan ville vi beregne dens areal uden at kende nogen højder? Vi kan udvide trekanten, så der opstår et rektangel. Rektanglets sider vil bestå af trekantens kateter, og de to resterende sider tilføjer vi, så der virkelig opstår et rektangel: Rektanglets areal kan vi allerede beregne, det er produktet af længderne af to sammenstødende sider, i vores tilfælde produktet af de røde sider AC og AB. Dermed får vi rektanglets areal. Hypotenusen BC er dog en diagonal i rektanglet, som halverer rektanglet, så hvis vi dividerer rektanglets areal med to, får vi arealet af den retvinklede trekant. Formlen ville altså se sådan ud:

$$T=\frac{b\cdot c}{2},$$

hvor b og c er længderne af kateterne.

Trigonometriske funktioner sinus og cosinus

I en retvinklet trekant gælder de grundlæggende trigonometriske funktioner og deres sammenhænge. De trigonometriske funktioner som sinus, cosinus, tangens og cotangens udtrykker forholdet mellem længderne af siderne i en retvinklet trekant. Lad os endnu en gang tage den første trekant til hjælp, denne gang med fremhævede vinkler.

Hvis vi vil finde forholdet mellem længderne af to sider, tager vi begge længder og dividerer dem i den angivne rækkefølge. For eksempel får vi forholdet mellem længderne af siderne b:c (vi læser »b til c«) ved at dividere 3/5 (siden b har længden 3, siden c længden 5).

Funktionen sinus arbejder så med forholdet mellem to sider og en vinkel. Med hensyn til vores figur gælder: hvis vi tager forholdet mellem siderne b:a, får vi værdien af funktionen sinus anvendt på vinklen β. Cosinus fungerer på lignende måde, bare for forholdet c:a og den samme vinkel β. Der gælder altså:

$$\begin{array}{rcl}\sin (\beta )& =& \frac{b}{a}\\ \cos (\beta )& =& \frac{c}{a}\end{array}$$

Funktionerne sinus og cosinus arbejder altid kun med de vinkler i en retvinklet trekant, som er mindre end 90 grader. I dette tilfælde med vinklerne β og γ. I dette område giver sinus og cosinus os altid et tal i intervallet ]0; 1[, så du kan huske reglen, at du altid dividerer den kortere side med den længere side — for at få et tal netop fra intervallet ]0; 1[.

Begge funktioner arbejder samtidig med en katete og hypotenusen, aldrig med to kateter på én gang. Fordi du altid dividerer den kortere med den længere, vil hypotenusen altid stå i nævneren af brøken. Når du kigger på formlerne over dette afsnit, står der altid a i nævneren, og det er trekantens hypotenuse.

Den sidste regel er, at sinus arbejder med den modstående katete, mens cosinus arbejder med den hosliggende katete. Hvad betyder det? Hvis vi har vinklen β, så er den hosliggende katete den katete, der udgår fra punktet B, kateten c. Den modstående er den anden katete, kateten b. Derfor står siden b i formlen for sinus og siden c i formlen for cosinus.

Sammenfatning: sinus giver forholdet mellem den modstående katete og hypotenusen, cosinus forholdet mellem den hosliggende katete og hypotenusen. Hvordan kan vi bruge det? Hvis du kender vinklerne i trekanten og længden af hypotenusen eller af en katete, kan vi beregne længderne af de øvrige sider. Eksempel:

For den foregående trekant gælder:

$$|AC|=b=3,|AB|=c=5,\beta =30,{96}^{\circ }$$

Hvad er længden af siden a? Vi ved, at der gælder:

$$\sin (\beta )=\frac{b}{a}$$

Vi kender værdien af sinus, vi kender også længden af siden b, og vi søger længden af siden a. Vi isolerer a ved hjælp af ækvivalente omformninger:

$$\begin{array}{rcl}\sin (\beta )& =& \frac{b}{a}\\ a\cdot \sin (\beta )& =& b\\ a& =& \frac{b}{\sin (\beta )}\end{array}$$

(Først har vi ganget ligningen med a og derefter divideret ligningen med sinus.) På højre side har vi nu kun kendte værdier, så vi indsætter. Værdien af sinus beregner vi på lommeregneren.

$$a=\frac{b}{\sin (\beta )}=\frac{3}{\mathrm{0,514}}=5,83.$$

Siden a har længden 5,83. Hvis du beregner sinus på lommeregneren, så pas på, at du har slået tilstanden for grader til. Problemet er nemlig ofte, at du regner med radianer, som er en anden vinkelenhed. Der gælder dog omregningsformlen:

$$rad=\frac{\pi }{180}\cdot deg,$$

hvor deg er din værdi i grader.

Trigonometriske funktioner tangens og cotangens

I en retvinklet trekant kan man også enkelt bruge disse to funktioner. Igen gælder, at vi altid arbejder med vinkler mindre end 90 grader. I modsætning til sinus og cosinus arbejder disse funktioner dog ikke med trekantens hypotenuse, men kun med kateterne. Der gælder altså, at tangens til en vinkel er lig med forholdet mellem den modstående katete og den hosliggende katete, og cotangens forholdet mellem den hosliggende katete og den modstående.

Med hensyn til den foregående trekant gælder altså:

$$\begin{array}{rcl}\tan (\beta )& =& \frac{b}{c}\\ \cot (\beta )& =& \frac{c}{b}\end{array}$$

Vi prøver i den foregående trekant at beregne længden af siden AC (siden b) ved hjælp af vinklen β. Dens størrelse kender vi fra det foregående eksempel. Vi ved, at der gælder:

$$\tan (\beta )=\frac{b}{c}$$

Vi isolerer siden b:

$$\begin{array}{rcl}\tan (\beta )& =& \frac{b}{c}\\ c\cdot \tan (\beta )& =& b\\ b& =& c\cdot \tan (\beta )\end{array}$$

(Vi har bare ganget ligningen med c og byttet om på siderne.) Nu kender vi alt, hvad vi skal bruge til at beregne længden af siden b. Vi indsætter:

$$b=c\cdot \tan (\beta )=5\cdot \tan (30,96)=5\cdot 0,6=3$$

Allerede på figuren kan vi se, at vi fik den rigtige løsning. Pas igen på, at der i formlen står en værdi i grader i tangens, mens lommeregneren måske kræver vinklen i radianer.

Til illustration kan vi beregne den samme side ved hjælp af cotangens:

$$\begin{array}{rcl}\cot (\beta )& =& \frac{c}{b}\\ b\cdot \cot (\beta )& =& c\\ b& =& \frac{c}{\cot (\beta )}\end{array}$$

Vi indsætter værdierne:

$$b=\frac{5}{\cot (30,96)}=\frac{5}{\mathrm{1,666}\dots }=3$$

Igen fik vi et rigtigt resultat.