Andengradsligninger

En andengradsligning er en ligning, der indeholder én ubekendt, som er opløftet i anden potens. Hvis ligningen indeholder en ubekendt, der er opløftet i en højere potens end anden, er det ikke længere en andengradsligning.

Beskrivelse af andengradsligningen

Standardformen for en andengradsligning ser sådan her ud:

$a x^{2} + b x + c = 0$

Værdierne a, b, c er reelle tal, og værdien a er forskellig fra nul. Yderligere benævnelser:

ax² kaldes andengradsleddet,
bx kaldes førstegradsleddet,
c kaldes konstantleddet.

Enhver andengradsligning kan omformes til standardformen ved hjælp af ækvivalente omformninger eller andre omformninger. Et eksempel på en andengradsligning er denne ligning:

$3 x^{2} - 6 x + 8 = 0.$

Et sværere spørgsmål er, om også denne ligning er en andengradsligning:

$(x + 1) \cdot (x + 2) = 7.$

Der er ikke noget x² at se, og på højre side står der ikke nul. Højre side klarer vi nemt, vi trækker syv fra, og så får vi formen

$(x + 1) \cdot (x + 2) - 7 = 0.$

Stadig har vi ikke noget x². Vi ganger parenteserne ud og får:

$x^{2} + 2 x + x + 2 - 7 = 0$

Nu har vi x². Efter sammenlægning får vi endelig standardformen for en andengradsligning:

$x^{2} + 3 x - 5 = 0.$

Hvad med følgende eksempel, er det en andengradsligning? Kan den omformes til standardformen?

$x^{2} + 3 x + \frac{4}{x} = 0$

Svaret er, at det kan den ikke. Hvis vi nemlig ganger hele ligningen med variablen x for at slippe af med variablen i brøkens nævner, får vi:

$x^{3} + 3 x^{2} + 4 = 0.$

Nu har vi x³, og det kan ikke forekomme i en andengradsligning.

Der findes særlige typer af andengradsligninger, afhængigt af hvilke værdier koefficienterne a, b og c har.

Koefficienternes værdier

I de følgende afsnit er det helt afgørende, at du kan bestemme de enkelte koefficienter a, b og c. Lad os begynde med et enkelt eksempel. Bestem koefficienterne i ligningen 3x² + 4x + 7 = 0. Her er det let: a = 3, b = 4 og c = 7.

Hvad med for eksempel ligningen 3x² − x + 2 = 0? Værdierne a og c er klare, a = 3 og c = 2, men hvad med b? Det ville være en fejl at skrive, at b = 1. Forestil dig, at der står et ettal foran x, sådan her: 3x² − 1x + 2 = 0. Nu er det måske lettere at se, at b = −1.

Endnu et interessant eksempel: x² − 3 = 0. Her kan der igen opstå problemer med koefficienten b, de andre er åbenlyse: a = 1 og c = −3. Hvilken værdi har koefficienten b? Førstegradsleddet forekommer slet ikke i denne ligning, det er det samme, som hvis vi havde skrevet ligningen på formen x² + 0x − 3 = 0. Der gælder altså, at b = 0.

Et sværere eksempel:

$5 x^{2} + 3 x + π \cdot x = 0$

I denne ligning er der to faldgruber. Der er intet konstantled, så c = 0. Andengradsleddet er klart, så a = 5. Men hvad med det forbandede b? Vi kan omforme ligningen lidt endnu, vi sætter variablen x uden for parentes i to af udtrykkene sådan her:

$5 x^{2} + (3 + π) x = 0$

Koefficienten b er igen det, der står »foran« variablen x, så hele parentesen er lig med koefficienten b = (3 + π). En lignende ligning:

$- x^{2} + 4 x + 1 - \sqrt{2} = 0$

De to første koefficienter er åbenlyse: a = −1 og b = 4. Hvad er konstantleddet? Det er de resterende udtryk, hvor der ikke står x. Der gælder altså, at $c = 1 - \sqrt{2}$ . Vær ikke bange for kvadratroden, den bider ikke, det er et helt almindeligt tal.

Og hvilke værdier har denne ligning? (x + 1)(x + 2) = −2x. Først skal vi omforme ligningen til standardformen. Vi ganger parenteserne ud og får

$x^{2} + 3 x + 2 = - 2 x$

og til sidst lægger vi 2x til ligningen for at få nul på højre side:

$x^{2} + 5 x + 2 = 0.$

Værdierne er nu åbenlyse: a = 1, b = 5, c = 2.

Ren andengradsligning

Hvis b = 0, er der tale om en ren andengradsligning, som løses på lignende måde som lineære ligninger. Denne ligning har altså standardformen:

$a x^{2} + c = 0$

Fordi b = 0, falder hele førstegradsleddet bx ud af ligningen, for 0x = 0. Ligningen løser vi ved først at trække konstantleddet fra. Vi trækker altså værdien c fra ligningen. Dermed får vi:

$\begin{array}{rcl} a x^{2} + c & = & 0 / - c \\ a x^{2} & = & - c \end{array}$

Derefter dividerer vi ligningen med tallet a. Vi får formen:

$x^{2} = \frac{- c}{a}$

Og til sidst uddrager vi kvadratroden af hele ligningen. Her må brøken på højre side ikke være negativ, fordi man ikke kan uddrage kvadratroden af et negativt tal. Vi får resultatet:

$x_{1} = \sqrt{\frac{- c}{a}}, x_{2} = - \sqrt{\frac{- c}{a}}$

Bemærk, at vi får to resultater, et positivt og et negativt. Det er lettere at se på et eksempel. Vi regner på ligningen

$2 x^{2} - 8 = 0.$

Ifølge fremgangsmåden trækker vi først leddet c fra. Pas på, at leddet c i dette tilfælde er negativt, så vi trækker et negativt tal fra, altså lægger vi et positivt tal til. Vi lægger derfor +8 til hele ligningen (målet er at få otte over på højre side). Vi får formen:

$2 x^{2} = 8$

Derefter dividerer vi ifølge fremgangsmåden ligningen med tallet a, som er to. Efter divisionen får vi formen:

$x^{2} = 4$

Nu uddrager vi kvadratroden.

$x_{1} = 2, x_{2} = - 2$

Hvorfor er der også minus to? Fordi minus to gange minus to er fire. Vi kan også se på den grafiske løsning: Vi ser, at grafen for funktionen 2x² − 8 skærer x-aksen netop i punkterne x₁ = −2 og x₂ = 2.

Grafisk løsning af ligningen 2x^2-8=0

Løs ligningen

$80 x^{2} - 5 = 0.$

Vi lægger fem til ligningen:

$80 x^{2} = 5$

Vi dividerer med 80:

$x^{2} = \frac{5}{80}$

Vi forkorter brøken:

$x^{2} = \frac{1}{16}$

Vi uddrager kvadratroden:

$x_{1} = \frac{1}{4}, x_{2} = - \frac{1}{4}$

Andengradsligning uden konstantled

Et andet særligt tilfælde af en andengradsligning opstår, når konstantleddet c er lig med nul. Ligningen har standardformen:

$a x^{2} + b x = 0$

Denne type ligning løses ved at sætte den ubekendte uden for parentes:

$x (a x + b) = 0.$

Her kan man allerede se et ret klart resultat. Igen får vi to løsninger til ligningen, men den ene af dem er altid lig med nul. Hele venstre side er nemlig et produkt af to udtryk: x og så parentesen (ax + b). Hvornår er dette produkt lig med nul? Hvis mindst ét af disse udtryk er lig med nul. Venstre side er altså lig med nul i to tilfælde:

$x = 0 eller a x + b = 0.$

Den første løsning til ligningen har vi dermed allerede, det er nul. Den anden får vi, hvis vi løser den lineære ligning ax + b = 0. Fra artiklen om lineære ligninger ved vi, at denne ligning har præcis én løsning, som er lig med:

$x = - \frac{b}{a}$

Nu kan vi altså nedskrive resultatet for hele andengradsligningen ax² + bx = 0:

$x_{1} = 0, x_{2} = - \frac{b}{a} .$

Eksempel:

$6 x^{2} + 3 x = 0$

Vi sætter x uden for parentes:

$x (6 x + 3) = 0$

Den første løsning er x = 0. Den anden løsning finder vi ved at løse den lineære ligning 6x + 3 = 0:

$x = - \frac{b}{a} = - \frac{3}{6} = - \frac{1}{2} .$

Vi nedskriver resultatet:

$x_{1} = 0, x_{2} = - \frac{1}{2} .$

Igen kan vi se på grafen for funktionen, som skærer x-aksen netop i disse punkter:

Graf for funktionen 6x^2+3x

Andre løsningsmetoder

Det var de grundlæggende teknikker for særlige typer af andengradsligninger. Den generelle andengradsligning løses ved hjælp af diskriminanten. Blandt andre typer ligninger findes andengradsligningen med parameter.

Beregner

Indtast koefficienterne a, b og c i den generelle ligning ax² + bx + c = 0, så udregner beregneren både diskriminanten og løsningerne. Du finder den også for sig selv som beregner til andengradsligninger.

Kapitler: Andengradsligninger, Diskriminant, Andengradsligning med parameter, Andengradsligninger i de komplekse tal

« Forrige: Lineær ligning med parameter

Næste: Diskriminant »