Diskriminant

Diskriminanten er et polynomium, som vi kan bruge til at beregne løsningerne til en generel andengradsligning eller til at afgøre, om ligningen har løsninger, og hvor mange den har.

Formel og grundlæggende sammenhænge

Først gentager vi standardformen for en andengradsligning:

$a x^{2} + b x + c = 0, a \neq 0$

hvor a, b, c er reelle tal. Diskriminanten, som vi kalder d, beregner vi sådan her:

$d = b^{2} - 4 \cdot a \cdot c$

Eksempel: Vi har andengradsligningen 3x² + 5x − 7 = 0. For denne ligning gælder: a = 3, b = 5, c = −7. Diskriminanten beregner vi sådan her:

$d = 5^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 7) = 25 + 4 \cdot 3 \cdot 7 = 25 + 84 = 109$

Resultatet er altså 109. Hvad fortæller dette tal os? Hvis diskriminanten er…

positiv, har ligningen to forskellige reelle løsninger,
nul, har ligningen to ens reelle løsninger,
negativ, har ligningen ingen løsning i de reelle tal. Til gengæld har den løsninger i de komplekse tal.

Sådan beregner du løsningerne til en andengradsligning

Ved hjælp af diskriminanten kan vi beregne løsningerne til andengradsligningen direkte. Formlen til at beregne løsningerne lyder sådan her:

$x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{d}}{2 a},$

hvor d er diskriminanten. Hele formlen med diskriminanten skrevet ud ser sådan her ud:

$x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} .$

Vi prøver at bruge denne formel til at beregne løsningerne til andengradsligningen x² + 7x + 12 = 0. Først beregner vi diskriminanten:

$d = 7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1.$

Diskriminanten er positiv, så ligningen har to forskellige reelle løsninger. Vi beregner den første løsning. Først lægger vi kvadratroden af diskriminanten til, og i andet trin trækker vi kvadratroden fra:

$x_{1} = \frac{- 7 + \sqrt{1}}{2} = \frac{- 7 + 1}{2} = - \frac{6}{2} = - 3.$

Den første løsning er −3. Den anden løsning beregner vi ved at trække kvadratroden fra:

$x_{2} = \frac{- 7 - \sqrt{1}}{2} = \frac{- 7 - 1}{2} = - \frac{8}{2} = - 4.$

Nu har vi begge ligningens løsninger, x₁ = −3 og x₂ = −4.

For at beherske denne fremgangsmåde er det helt nødvendigt, at du kan bestemme værdierne a, b og c korrekt. Hvordan man gør det, blev beskrevet i den første artikel om andengradsligninger.

Og hvad betyder denne løsning grafisk, hvordan kommer den til udtryk i grafen? Hvis vi tegner grafen for den funktion, der står på ligningens venstre side, kan vi se, at grafen for denne andengradsfunktion skærer x-aksen i to punkter — i punkterne x₁ = −3 og x₂ = −4.

Graf for funktionen y=x^2+7x+12

Diskriminant på nul

Hvis diskriminanten bliver nul, betyder det, at ligningen har en løsning, men kun én; eller rettere to, men ens. Eksempel: Løs ligningen x² − 10x + 25 = 0. Vi beregner diskriminanten:

$d = (- 10)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 100 - 100 = 0.$

Løsningen beregner vi på samme måde som i det foregående afsnit ved hjælp af formlen. Men fordi diskriminanten er nul, forsvinder plus/minus kvadratroden af d fra formlen, for vi ville lægge nul til eller trække nul fra.

$x_{1, 2} = \frac{- (- 10)}{2} = \frac{10}{2} = 5.$

Vi fik én dobbeltrod, x = 5. Hvad betyder det grafisk? At grafen for funktionen rører x-aksen i netop ét punkt, i sit toppunkt.

Graf for funktionen y=x^2-10x+25

Negativ diskriminant

Hvis vi får en negativ diskriminant, har andengradsligningen ingen løsning i de reelle tal. Ligningen kan vi løse i de komplekse tal, men det kommer først i en senere artikel. Som eksempel prøver vi at løse denne andengradsligning: x² + x + 1 = 0. Diskriminant:

$d = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = - 3.$

Andengradsligningen har altså ingen løsning i de reelle tal. Du kan selv prøve — polynomiet x² + x + 1 er positivt for alle reelle tal. Hvis du for eksempel indsætter et for x, får du: 1 + 1 + 1 = 3. Hvis x = −1, har vi 1 − 1 + 1 = 1. Hvis x = 0, har vi 0 + 0 + 1 = 1. Og tilsvarende for andre tal. Du kan også se på grafen for funktionen y = x² + x + 1, den skærer aldrig x-aksen.

Graf for funktionen y=x^2+x+1

Vietas formler

Vi ved nu, hvordan vi beregner løsningerne til en andengradsligning. Men hvilken sammenhæng er der mellem dem? Vi prøver at lægge de to løsninger x₁ og x₂ sammen:

$\begin{array}{rcl} x_{1} + x_{2} & = & \frac{- b + \sqrt{d}}{2 a} + \frac{- b - \sqrt{d}}{2 a} \\ = & \frac{- b + \sqrt{d} - b - \sqrt{d}}{2 a} \\ = & \frac{- 2 b}{2 a} = - \frac{b}{a} \end{array}$

Lægger vi løsningerne til andengradsligningen ax² + bx + c = 0 sammen, får vi kvotienten −b/a. Hvad sker der, hvis vi ganger løsningerne?

$\begin{array}{rcl} x_{1} \cdot x_{2} & = & \frac{- b + \sqrt{d}}{2 a} \cdot \frac{- b - \sqrt{d}}{2 a} \\ = & \frac{b^{2} + b \cdot \sqrt{d} - b \cdot \sqrt{d} - d}{4 a^{2}} \\ = & \frac{b^{2} - d}{4 a^{2}} \\ = & \frac{b^{2} - (b^{2} - 4 a c)}{4 a^{2}} \\ = & \frac{4 a c}{4 a^{2}} = \frac{c}{a} \end{array}$

Hvis vi altså ganger løsningerne, får vi tallet c/a. Og det er Vietas formler. Her er de en gang til samlet:

$\begin{array}{rcl} x_{1} + x_{2} & = & - \frac{b}{a} \\ x_{1} \cdot x_{2} & = & \frac{c}{a} \end{array}$

Læg mærke til, at der altid står udtrykket a i brøkens nævner. Et specialtilfælde er andengradsligningen, hvor a = 1. Så kan vi skrive Vietas formler sådan her:

$\begin{array}{rcl} hvis a = 1 : \\ x_{1} + x_{2} & = & - b \\ x_{1} \cdot x_{2} & = & c \end{array}$

Det kan vi udnytte, når vi leder efter løsninger til andengradsligninger. I stedet for at beregne diskriminanten omstændeligt kan vi se, om vi kan finde sådanne tal x₁ og x₂, at ovenstående sammenhænge gælder. Eksempel: Find løsningerne til ligningen x² + 8x + 15 = 0. Der gælder, at a = 1, så vi kan bruge de enklere af Vietas formler. Vi leder efter tallene x₁ og x₂, så der gælder:

$\begin{array}{rcl} x_{1} + x_{2} & = & - 8 \\ x_{1} \cdot x_{2} & = & 15 \end{array}$

Hvis vi begrænser os til hele tal, har vi i alt fire muligheder for at få 15 som produkt:

$\begin{array}{rcl} 1 \cdot 15 & = & 15 \\ 3 \cdot 5 & = & 15 \\ - 3 \cdot (- 5) & = & 15 \\ - 1 \cdot (- 15) & = & 15 \end{array}$

Nu skal summen af tallene på venstre side give −8. Kun ét par giver den sum, nemlig −3 og −5. Disse tal er altså løsninger til andengradsligningen. Vi kan prøve at indsætte dem i ligningen, vi skal få nul:

$\begin{array}{rcl} (x = - 3) : & (- 3)^{2} + 8 \cdot (- 3) + 15 = 9 - 24 + 15 = 0 \\ (x = - 5) : & (- 5)^{2} + 8 \cdot (- 5) + 15 = 25 - 40 + 15 = 0 \end{array}$

Det passer. Hvis du kender løsningerne, kan du også skrive ligningen på en mere læsbar form. Hvis x₁ og x₂ er løsninger til ligningen ax² + bx + c = 0, og hvis a = 1, kan du omskrive ligningen til formen

$(x - x_{1}) (x - x_{2}) = 0.$

Den foregående ligning kan vi således omskrive til formen:

$(x - (- 3)) (x - (- 5)) = (x + 3) (x + 5) = 0.$

Kapitler: Andengradsligninger, Diskriminant, Andengradsligning med parameter, Andengradsligninger i de komplekse tal

« Forrige: Andengradsligninger

Næste: Andengradsligning med parameter »