Basisskiftematrix

Hvis vi har et vektorrum V og to baser for det, kan vi udtrykke en vektor fra rummet som en kombination af vektorer fra begge baser. Basisskiftematrixen hjælper os så med at omregne den ene fremstilling til den anden.

Motivation

Vi har et n-dimensionalt vektorrum V og to forskellige baser E = {e₁, …, e_n} og F = {f₁, …, f_n} for det. Vælg desuden en vektor x fra V. Da x ligger i rummet V, og da både E og F er baser for dette rum, må der findes koefficienter a₁, …, a_n, således at:

$$\mathbf{x}=a_1\cdot {\mathbf{e}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{e}}_n$$

og samtidig må der findes koefficienter b₁, …, b_n, således at:

$$\mathbf{x}=b_1\cdot {\mathbf{f}}_1+\dots +b_n\cdot {\mathbf{f}}_n$$

I det første tilfælde udtrykker vi vektoren x ved hjælp af basen E, i det andet ved hjælp af basen F. Vi bruger to forskellige baser til at udtrykke x og får derfor to forskellige sæt koefficienter a_i og b_i. Spørgsmålet er: hvis vi kender koefficienterne b_i, findes der så en måde at få koefficienterne a_i ud af dem, dvs. fremstillingen i forhold til den første basis?

Ja, det er det, den såkaldte basisskiftematrix bruges til.

Sådan finder vi basisskiftematrixen

Vi har stadig rummet V og to baser E = {e₁, …, e_n} og F = {f₁, …, f_n}. Da E er en basis for rummet V, kan helt sikkert også alle vektorerne f₁, …, f_n udtrykkes som linearkombinationer af vektorer fra basen E. Vektorerne f₁, …, f_n er ganske vist en del af basen F, men de er samtidig almindelige elementer i rummet V, så der må gælde:

$$\begin{array}{rcl}{\mathbf{f}}_1& =& a_{11}\cdot {\mathbf{e}}_1+a_{21}\cdot {\mathbf{e}}_2+\dots +a_{n1}\cdot {\mathbf{e}}_n\\ {\mathbf{f}}_2& =& a_{12}\cdot {\mathbf{e}}_1+a_{22}\cdot {\mathbf{e}}_2+\dots +a_{n2}\cdot {\mathbf{e}}_n\\ & \dots & \\ {\mathbf{f}}_n& =& a_{1n}\cdot {\mathbf{e}}_1+a_{2n}\cdot {\mathbf{e}}_2+\dots +a_{nn}\cdot {\mathbf{e}}_n\end{array}$$

Nu skriver vi disse ligninger om til en matrix, så den første søjle i matrixen indeholder koefficienterne for vektoren $\mathbf{f}\mathrm{\_}1$, dvs. a_i1, den anden søjle koefficienterne for vektoren $\mathbf{f}\mathrm{\_}2$, dvs. a_i2, osv. Vi får matrixen:

$$P=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ \dots \\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right)$$

En sådan matrix kaldes basisskiftematrixen fra basis E til basis F. Hvis vi har en vektor x = [x₁,…, x_n] fra V, som har koefficienterne b₁, …, b_n i forhold til basen F, får vi koefficienterne a₁, …, a_n i forhold til basen E således

$$\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right)=P\cdot \left(\begin{array}{c}{b}_1\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right)$$

Eksempel

Vi arbejder i vektorrummet ℝ³. Vi vælger standardbasen som den ene basis E = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} og som den anden basis F = {(2, 0, 0), (3, 2, 0), (1, 5, 4)}. Basisskiftematrixen fra basen E til basen F bliver

$$P=\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 1\\ 0& 2& 5\\ 0& 0& 4\end{array}\right)$$

Nu vælger vi en vilkårlig vektor x ∈ ℝ³, for eksempel x = (12, 41, 28). Den har i forhold til basen F koefficienterne b₁ = −2, b₂ = 3, b₃ = 7. Vi udfører derfor et matrixprodukt:

$$\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 1\\ 0& 2& 5\\ 0& 0& 4\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ 7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12\\ 41\\ 28\end{array}\right)$$

I forhold til basen E har vektoren x koefficienterne a₁ = 12, a₂ = 41, a₃ = 28. Der gælder altså:

$$(12,41,28)=12\cdot (1,0,0)+41\cdot (0,1,0)+28\cdot (0,0,1)$$