Underrum

Et underrum er en delmængde af et vektorrum, som stadig er lukket under addition og multiplikation med en skalar.

Definition

Lad os have et vektorrum V. Et underrum W ville så være en delmængde af rummet V, hvor mængden W samtidig er et vektorrum. En ikke-tom delmængde W ⊆ V skal derfor opfylde disse to betingelser for at være et underrum af rummet V: for alle x, y ∈ W og for ethvert a ∈ ℝ:

• x + y ∈ W,
• a · x ∈ W.

Vi skal altså vælge en sådan delmængde af V, at disse vektorer er lukkede under addition og multiplikation.

Underrum af rummet R³

Vi prøver at tage rummet ℝ³ og finde et underrum.

1. Hvad med for eksempel alle tripler af formen (a, a, a), hvor a ∈ ℝ. Dvs. tripler som $(1,1,1),(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ eller (−π, −π, −π). Et sådant underrum, lad os kalde det W₁, ville være en delmængde af rummet ℝ³, dvs. W₁ ⊆ ℝ³, for ℝ³ indeholder jo alle tripler.

Et sådant rum ville være lukket under addition af vektorer, fordi

$$(a,a,a)+(b,b,b)=(a+b,a+b,a+b).$$

Når vi lægger to vektorer sammen, får vi en ny vektor, som igen har tre ens komponenter, og en sådan vektor er indeholdt i mængden W₁. Mængden W₁ opfylder altså den første betingelse for et underrum. Men opfylder den den anden betingelse?

Ja, det gør den, for k gange en vektor ændrer igen alle tre komponenter af vektoren, men ændrer dem helt ens:

$$k\cdot (a,a,a)=(k\cdot a,k\cdot a,k\cdot a).$$

Vi får igen en vektor, som har alle tre komponenter ens, og en sådan vektor er i mængden W₁. Mængden W₁ er altså et underrum af ℝ³.

• Vi kan prøve at tage alle tripler (a, b, c), så a, b, c ∈ [−1; 1]. Denne mængde kalder vi W₂, og elementerne er for eksempel tripler som $(\frac{1}{2},-\frac{2}{7},\frac{8}{9})$ eller $(0,\frac{\pi }{4},1)$. Er elementerne i W₂ lukkede under addition? Det er de helt sikkert ikke, for $(1,1,1)+(\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4})$ er lig med triplen $(\frac{3}{2},\frac{4}{3},\frac{5}{4})$, som ikke hører til W₂. Mængden W₂ udgør altså ikke et underrum af rummet ℝ³, mængden W₂ udgør slet ikke et rum.

• Nu tager vi alle tripler af formen (a, 0, b), hvor a, b ∈ ℝ. Det er alle tripler, som har anden komponent lig med nul. Lad os kalde denne mængde W₃. Er denne mængde lukket under addition? Ja, det er den, fordi

$$(a,0,b)+(c,0,d)=(a+c,0,b+d)$$

Resultatet er triplen (a + c, 0, b + d), som har anden komponent lig med nul, og de to andre er reelle tal. Denne triple er helt sikkert i W₃. Er W₃ lukket under multiplikation? Ja, det er den, fordi

$$k\cdot (a,0,b)=(k\cdot a,0,k\cdot b)$$

Igen får vi triplen (k · a, 0, k · b), som altid har anden komponent lig med nul, og de øvrige komponenter er reelle tal. En sådan triple er et element i W₃. Mængden W₃ danner altså et underrum af rummet ℝ³. Læg mærke til, at hvis triplerne havde formen (a, b, 0) eller (a, 0, 0), ville de også udgøre et underrum.

Underrum af polynomier

I den foregående artikel viste vi et vektorrum bestående af polynomier. Til repetition: Et polynomium er et udtryk af formen

$$p(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots +a_n{x}^n.$$

Vi forudsætter, at a_n ≠ 0. Graden af et sådant polynomium er så netop tallet n. De reelle tal a₀, …, a_n kalder vi polynomiets koefficienter. Et eksempel på et polynomium kan være udtrykket 4 + 3x − 7x². Vi prøver at finde et underrum. Lad os altså have vektorrummet P(x) af alle polynomier.

1. Først prøver vi mængden af alle polynomier af grad n, hvor n ≥ 0, lad os kalde denne mængde W₁. I den foregående artikel har vi allerede nævnt, at det slet ikke er et vektorrum, så det bliver næppe et underrum af rummet P(x). Lad os gentage, at når vi for eksempel ganger et polynomium i W₁ med nul, får vi polynomiet p(x) = 0, som per definition har grad −1. Dette element er derfor helt sikkert ikke i nogen W₁.

2. Vi prøver for W₂ at tage alle polynomier af grad n og mindre. For n = 2 vil W₂ altså indeholde alle polynomier af grad 2, 1, 0, −1. Er denne mængde lukket under addition? Ja, det er den, fordi summen af to polynomier af grad n aldrig bliver større end n, den kan kun være mindre. På samme måde er denne mængde lukket under multiplikation, fordi k gange et polynomium p(x) kan give enten et polynomium af samme grad eller nulpolynomiet. Begge muligheder dækkes af mængden W₂, så W₂ danner et underrum af rummet P(X).

Grundlæggende egenskaber ved underrum

Lad os have et vektorrum V og to af dets underrum W₁ og W₂. Så gælder, at

1. Fællesmængden W₁ ∩ W₂ er et underrum af V.

   Lad os have vektorrummet ℝ³ og underrummene W₁ og W₂, så W₁ består af tripler af formen (a, b, 0) og W₂ af tripler af formen (a, 0, b), hvor a, b ∈ ℝ. Fællesmængden W₁ ∩ W₂ bliver så mængden af tripler af formen (a, 0, 0) — en sådan mængde er åbenlyst et underrum af rummet ℝ³.

   Men det er selvfølgelig ikke et bevis. Det ville se sådan ud: Vi tager et vilkårligt vektorrum V og to af dets underrum W₁ og W₂. Vi vil nu bevise, at for alle x, y ∈ W₁ ∩ W₂ gælder, at x + y ∈ W₁ ∩ W₂.

   Fordi vektorerne x og y er indeholdt i fællesmængden W₁ ∩ W₂, må der helt sikkert gælde, at x, y ∈ W₁ og samtidig x, y ∈ W₂ (det gælder ifølge definitionen af fællesmængde). Fordi W₁ og W₂ samtidig er vektorrum, må der også gælde, at x + y ∈ W₁, og samtidig må der gælde x + y ∈ W₂ (det gælder ifølge definitionen af vektorrum). Nu har vi altså, at x + y ∈ W₁ og samtidig x + y ∈ W₂, hvoraf det følger, at x + y ∈ W₁ ∩ W₂ (igen ud fra definitionen af fællesmængde — hvis et element ligger i mængden W₁ og også ligger i mængden W₂, må det også ligge i deres fællesmængde).

   Dernæst skal vi kontrollere, at multiplikation er lukket. Vi skal bevise, at for alle k ∈ ℝ og x ∈ W₁ ∩ W₂ gælder, at k · x ∈ W₁ ∩ W₂. Fremgangsmåden bliver den samme. Fordi x ∈ W₁ ∩ W₂, er også x ∈ W₁ og x ∈ W₂ på samme tid. Fordi W₁ og W₂ er rum, er k · x ∈ W₁ og samtidig k · x ∈ W₂ og dermed k · x ∈ W₁ ∩ W₂. □

2. Foreningsmængden W₁ ∪ W₂ behøver ikke nødvendigvis at være et underrum af V.

   For at bevise den anden egenskab er det nok at finde et passende modeksempel. Vi nøjes med de foregående rum W₁ og W₂, som har tripler af formen (a, b, 0), henholdsvis (a, 0, b). Hvis vi danner deres foreningsmængde, får vi alle tripler, som skal have nul på anden eller tredje plads. Vektorerne (1, 0, 1) og (1, 1, 0) er derfor helt sikkert i foreningsmængden W₁ ∪ W₂. Men deres sum er lig med vektoren (2, 1, 1), som er en vektor, der ikke har nul nogen steder. Denne vektor er hverken i W₁ eller i W₂, så den kan heller ikke være i W₁ ∪ W₂. Vi har dermed fundet to vektorer, hvis sum ikke tilhører den samme mængde, så det kan ikke være et vektorrum.