Talfølger

En talfølge er en funktion, hvis definitionsmængde er mængden af naturlige tal. En talfølge kan enten være uendelig, hvis dens definitionsmængde er hele mængden af naturlige tal, eller endelig, hvis dens definitionsmængde kun er en endelig delmængde af de naturlige tal. Hvis det ikke udtrykkeligt siges, at der er tale om en endelig talfølge, antager man en uendelig talfølge.

Definition af talfølge

Dette afsnit beskriver i det mindste lidt, hvad definitionen af en talfølge betyder, det er ikke strengt nødvendigt at kende det, du kan springe hele afsnittet over, hvis du vil.

Indledningen har allerede røbet, at der er tale om en funktion, der har de naturlige tal som definitionsmængde. Værdimængden kan så være en hvilken som helst mængde, men her antager vi mængden af reelle tal. Hvad betyder det? Den mest synlige ændring sker ved funktionens graf, for det bliver ikke en sammenhængende kurve, som det ofte er almindeligt ved sædvanlige funktioner, men der er kun spredte enkeltstående isolerede punkter af talfølgen.

En talfølge kan for eksempel være rækken af tal 1, 3, 5, 7, 9, 11, … Det er en ret tydeligt defineret talfølge, og det burde være klart for enhver, hvordan den fortsætter. Fordi det er en funktion, ville tabellen over denne talfølges afbildning se sådan ud:

$$\begin{array}{rcl}1& \to & 1\\ 2& \to & 3\\ 3& \to & 5\\ 4& \to & 7\\ & \dots & \end{array}$$

Tallene i den første søjle (værdier fra definitionsmængden) angiver altså det pågældende tals placering i talfølgen. For eksempel står tallet fem i vores enkle talfølge på tredje plads. Det fortæller tabellen os også præcis. På fjerde plads i talfølgen står tallet syv, på første plads tallet et og så videre. Heraf følger også, at definitionsmængden af en endelig talfølge p bør være en mængde af formen

$$\mathrm{Dm}(p)=\{1,2,3,\dots ,n\},$$

så det virkelig er en rækkefølge, og ingen plads er udeladt. For eksempel er denne mængde

$$\mathrm{Dm}(p)=\{1,2,3,5,7\}$$

ikke egnet som definitionsmængde for en talfølge, fordi den mangler det fjerde og det sjette element.

En talfølge udtrykkes altså ved, at dens elementer kan ordnes på en eller anden måde, så hvert element i talfølgen, undtagen det første og det sidste, har sin forgænger og sin efterfølger. Det er en kæmpe forskel i forhold til reelle funktioner, hvor intet sådant gælder. Hvis vi tog funktionen f(x) = 2x, hvilken værdi følger så efter f(5/2)? Det ved vi ikke, resultatet er et reelt tal, og reelle tal har ikke nogen efterfølger.

Skrivemåde for talfølger

Vi ved allerede, at — forenklet sagt — en talfølge er en nummereret række af tal. Nu til, hvordan vi kan skrive en talfølge. Selve talfølgen navngiver vi som regel med et lille bogstav med et nedsænket indeks, for eksempel a_i.

Den første måde er en opremsning af alle værdierne i talfølgen. Den har vi allerede mødt i det foregående afsnit. Opremsningen kan være både endelig og uendelig:

$$\begin{array}{rcl}{a}_k& =& (1,2,3,4,5)\\ a_n& =& (2,4,6,8,10,\dots )\end{array}$$

Bemærkning: jeg er ikke sikker på, hvilke parenteser der almindeligvis bruges til talfølger, jeg har ikke fundet nogen ensartet konvention. Jeg ville nok ikke bruge tuborgparenteser, fordi de betegner mængder, hvor rækkefølgen ikke betyder noget, mens rækkefølgen af leddene betyder noget i talfølger.

Den anden mulighed er en formel for det n-te led i talfølgen. For eksempel indeholdt talfølgen a_n alle lige tal. Det kunne vi udtrykke med formlen

$$a_n=2n.$$

Det nedsænkede indeks n fortæller os, hvilket element i talfølgen vi lige beregner. Så hvis vi vil kende det første element, vil vi kende elementet a₁, hvis det syvende, så a₇. Det syvende element ville vi så beregne ved at sætte ind i forskriften.

$$a_7=2\cdot 7=14$$

Denne skrivemåde er fordelagtig, fordi den gør det muligt straks at beregne et hvilket som helst element i talfølgen. En anden mulighed er skrivemåden ved hjælp af rekursiv definition. En rekursiv definition gør det muligt at beregne det næste led, hvis vi kender det nuværende. Altså hvis vi kender elementet a_n, kan vi beregne elementet a_{n + 1}.

Hvis vi vil angive en talfølge rekursivt, skal vi give to oplysninger: hvad det første element er, og forskriften til at beregne det (n + 1)-te element. Hvis vi ville angive talfølgen af lige naturlige tal rekursivt, kunne vi gøre det sådan:

$$a_1=2;a_{n+1}=a_n+2$$

Hvordan ville man nu regne? Vi ved, at a₁ er lig med to. Nu sætter vi en ind for n, og derfor beregner vi a₂ ved at lægge to til a₁. Vi får fire, det andet lige tal. Og så videre.

$$\begin{array}{rcl}{a}_1& =& 2\\ a_2& =& a_1+2(=4)\\ a_3& =& a_2+2(=6)\\ a_4& =& a_3+2(=8)\\ & \dots & \end{array}$$

Skrivemåden ved hjælp af rekursiv definition er velegnet, når vi har brug for at frembringe en større del af talfølgen. Omvendt er den ikke velegnet, når vi vil beregne et bestemt element, for skal vi beregne det hundrede lige tal, må vi først beregne alle de 99 lige tal, der går forud for det hundrede lige tal.

Den sidste mulighed er at angive talfølgen ved hjælp af en graf.

Lige for at præcisere: en talfølge behøver ikke nødvendigvis at have en enkel forskrift, det behøver ikke at være en »fornuftig« række af tal. Også denne række af tal er en talfølge, selv om den ved første øjekast ikke har nogen dybere mening:

$$a_i=(-5,\frac{7}{3},\pi ,\pi ,\pi ,13,{10}^6+54,{\log }_{3}54,0)$$

Graf for en talfølge

Talfølger har andre grafer end sædvanlige reelle funktioner. Fordi de har de naturlige tal som definitionsmængde, består deres graf af isolerede punkter.

Aritmetisk talfølge

En aritmetisk talfølge er en enkel talfølge, hvor der er en fast differens mellem de enkelte led i talfølgen. Hvert efterfølgende element er for eksempel tre større eller for eksempel sytten mindre. Forskellen på, hvor meget de enkelte elementer i talfølgen afviger fra hinanden, kaldes differensen (betegnes d). I det første tilfælde ville differensen være tre, i det andet minus sytten, og i tilfældet med talfølgen af lige tal ville differensen være to. Med en formel kunne en aritmetisk talfølge altså skrives sådan:

$$a_{n+1}=a_n+d$$

Den generelle formel til beregning af det n-te led i en aritmetisk talfølge er så

$$a_n=a_1+(n-1)d.$$

Så som eksempel tager vi igen de lige tal, hvor differensen er to, og det første lige tal også er to. Så gælder det, at det andet lige tal får vi ved at lægge to til det første. Hvis vi lægger to til endnu en gang, får vi det tredje lige tal.

$$\begin{array}{rcl}{a}_1& =& 2\\ a_2& =& a_1+2(=4)\\ a_3& =& a_2+2(=6)\\ a_4& =& a_3+2(=8)\\ & \dots & \end{array}$$

Hvis vi for eksempel ville beregne det syvende lige tal, ville vi sætte ind i den generelle formel sådan:

$$a_n=a_1+(n-1)d\to a_7=2+(7-1)\cdot 2=2+12=14$$

Hvordan finder man ud af, om en given talfølge er aritmetisk? Vi trækker formlen for det n-te led fra formlen for det (n + 1)-te led, og hvis vi får en differens, er der tale om en aritmetisk talfølge. Lad os for eksempel tage talfølgen

$$a_n=2n+7.$$

Er denne talfølge aritmetisk? Vi begynder med at udtrykke det (n + 1)-te led:

$$a_{n+1}=2(n+1)+7.$$

Nu trækker vi disse to udtryk fra hinanden:

$$\begin{array}{rcl}d& =& (2(n+1)+7)-(2n+7)\\ d& =& 2n+2+7-2n-7\\ d& =& 2n-2n+7-7+2\\ d& =& 2\end{array}$$

Vi ser, at vi efter subtraktionen fik d = 2, så der er tale om en aritmetisk talfølge med differensen to.

Summen af leddene i en aritmetisk talfølge

Vi har ofte brug for at finde summen af de første par led i en aritmetisk talfølge. Hvordan ville vi gøre det? Intuitivt nok sådan her. Vi holder os til de lige tal. Hvad er summen af de første tre lige tal? Altså tallene 2, 4 og 6. Det kan vi selvfølgelig lægge sammen trin for trin, men det vil vi ikke, vi vil have en formel.

Vi ændrer talfølgen sådan, at vi lægger to til det første element og trækker to fra det sidste. Vi får 4, 4, 4. Vi ser, at vi har tre ens tal, så det er nok at gange fire med antallet af led, altså tre. Altså 4 · 3 = 12.

Ved fem elementer ville det se sådan ud: 2, 4, 6, 8, 10. Til de yderste elementer lægger vi fire til eller trækker fire fra, til de næstyderste to.

$$\begin{array}{rcl}{a}_i& =& (2+4),(4+2),6,(8-2),(10-4)\\ a_i& =& 6,6,6,6,6\end{array}$$

Igen er det nok at gange 6 · 5 = 30. Hvad ser vi? Vi ganger altid antallet af led i talfølgen med det midterste led i talfølgen. I talfølgen 2, 4, 6 stod der fire i midten, og i talfølgen 2, 4, 6, 8, 10 stod der 6 i midten. Hvordan beregner vi generelt det midterste element (kald det p)? Det beregner vi som gennemsnittet af det første og det sidste led i talfølgen, altså

$$p=\frac{a_1+a_n}{2}$$

For eksempel for den anden talfølge

$$p=\frac{2+10}{2}=6.$$

Den endelige formel for summen af de første n led i talfølgen a_n ville se sådan ud:

$$S_n=n\cdot \frac{a_1+a_n}{2}$$

Formlen gælder også for et lige antal elementer, selv om vi i udledningen kun brugte et ulige antal elementer.

Sådan beregner du differensen

Hvordan beregner man differensen, hvis man kender to led i talfølgen? Vi bliver ved de lige tal. Lad os sige, at vi kender disse to led i talfølgen

$$a_3=6,a_7=14.$$

Hvordan beregner vi differensen? Først beregner vi forskellen mellem disse to elementer:

$$a_7-a_3=14-6=8$$

Nu er det nok at dividere dette resultat med antallet af skridt mellem de to elementer, vi kender, altså forskellen mellem deres indeks:

$$\frac{a_7-a_3}{7-3}=\frac{8}{4}=2.$$

Differensen er to. Den endelige formel til beregning af differensen d, hvis vi kender elementerne a_k og a_l i talfølgen:

$$d=\frac{a_l-a_k}{l-k}$$

Grafen for en aritmetisk talfølge viser konstant vækst eller konstant aftagen — de isolerede punkter i grafen ligger på én linje.

Geometrisk talfølge

En geometrisk talfølge adskiller sig fra den foregående aritmetiske ved, at to naboled ikke har den samme differens, men derimod den samme kvotient. Den kaldes altså ikke differens som ved den aritmetiske talfølge, men kvotient (betegnes k). Vi kunne for eksempel have en talfølge, hvor k = 10, og det første element var 5:

$$\begin{array}{rcl}{a}_1& =& 5\\ a_2& =& a_1\cdot 10(=50)\\ a_3& =& a_2\cdot 10(=500)\\ a_4& =& a_3\cdot 10(=5000)\end{array}$$

Generelt gælder altså formlen:

$$a_{n+1}=a_n\cdot k$$

Formlen for et generelt led i en geometrisk talfølge ville se sådan ud:

$$a_n=a_1\cdot k^{n-1}$$

For eksempel ville vi beregne det tredje element i den foregående talfølge sådan:

$$\begin{array}{rcl}{a}_3& =& a_1\cdot k^{3-1}\\ a_3& =& 5\cdot k^2\\ a_3& =& 5\cdot {10}^2\\ a_3& =& 500\end{array}$$

Geometriske talfølger kan vi yderligere opdele i to grupper, nemlig efter hvilken kvotient de har. Hvis den numeriske værdi af kvotienten er mindre end en, nærmer hele talfølgen sig nul. En sådan talfølge kaldes så konvergent. Hvis den numeriske værdi af kvotienten derimod er mindst en, nærmer talfølgen sig ikke nul, og den kaldes en divergent talfølge. For en konvergent talfølge gælder så en enkel formel for summen af hele rækken (den gælder kun for konvergente, fordi en divergent ikke har nogen endelig sum):

$$S_a=\frac{a_1}{1-k}.$$

Formlen til beregning af summen af de første i elementer i den geometriske talfølge a_n:

$$S_i=a_1\cdot \frac{k^i-1}{k-1}$$

Udledningen af formlen kan du læse på Wikipedia.

Grafen for en geometrisk talfølge er, bortset fra tilfældet, hvor kvotienten er lig med en eller nul, en mængde af isolerede punkter, som ikke ligger på én linje. En typisk graf for en geometrisk talfølge ser sådan ud:

Hvis kvotienten er negativ, har grafen to grene: