Trigonometriske funktioner

I denne artikel vil jeg beskæftige mig med de trigonometriske funktioner, som også kaldes goniometriske funktioner. Ordet goniometri kommer fra græsk og betyder måling af vinkler, og trigon oversættes som trekant. Vi kender fire grundlæggende trigonometriske funktioner — sinus, cosinus, tangens og cotangens.

Grundlæggende begreber om trekanten

De trigonometriske funktioner arbejder med vinkler i en trekant, og derfor repeterer vi i dette afsnit begreber i forbindelse med trekanten.

På figuren ses en trekant, som er dannet af hjørnerne A, B og C; der er altså tale om trekant ABC. Vi finder her tre sider: AB, BC, AC. Læg desuden mærke til, at siderne også er navngivet med små bogstaver. Denne navngivning har en regel — over for hjørnet A har vi siden a. Over for hjørnet B er siden b, og over for hjørnet C er siden c. Den modstående side er altså altid opkaldt efter det givne hjørne; det er den side, som ikke er dannet af det givne hjørne.

Hver trekant har tre indre vinkler, som vi sædvanligvis betegner med de græske bogstaver alfa α, beta β og gamma γ. Summen af alle tre indre vinkler skal altid give 180 grader. Ved hjørnet A har vi sædvanligvis vinklen alfa, ved B beta og ved C gamma.

Selv om vi på en eller anden måde kan bruge de trigonometriske funktioner i enhver trekant, arbejder vi ofte kun med en retvinklet trekant. En retvinklet trekant er en trekant, der har én ret vinkel, altså en vinkel på 90 grader. Den ser for eksempel sådan ud:

En retvinklet trekant har særligt navngivne sider. Den længste side ligger over for den rette vinkel og kaldes hypotenusen (den blå side på figuren). De to kortere sider kaldes kateter (de røde sider). Denne trekant kommer til at interessere os mest i denne artikel.

Betegnelse af kateter i trekanten

Lad os gå videre til den første trigonometriske funktion, funktionen sinus. Alle de trigonometriske funktioner viser os en sammenhæng mellem en vinkel i trekanten og forholdet mellem længderne af to sider. Som regel er det ikke den rette vinkel, men de to øvrige. Input til en trigonometrisk funktion er således vinklens størrelse. Output er forholdet mellem to sider. De enkelte funktioner adskiller sig ved, hvilke sider de arbejder med.

Funktionen sinus arbejder med den modstående katete og hypotenusen. Hvad den hosliggende og den modstående katete er i forhold til en given vinkel, viser den følgende figur.

På figuren arbejder vi med vinklen beta, altså vinklen ved hjørnet B. Den sorte side er hypotenusen, den ændrer sig ikke. Den side c, der er fremhævet med rødt, er den hosliggende katete, fordi den ligger op ad vinklen beta. Den side b, der er fremhævet med blåt, er den modstående katete, fordi den ligger over for vinklen beta. Det vigtige er, at disse begreber altid refererer til en vinkel. Hvis vi ser på figuren ud fra vinklen gamma, får vi dette resultat:

Funktionen sinus

Sinus til vinklen alfa er lig med forholdet mellem længden af den modstående katete og længden af hypotenusen. Hvad betyder det? Hvis vi (for eksempel på lommeregneren) beregner sinus til vinklen alfa, får vi værdien af kvotienten

$$\sin (\alpha )=\frac{\text{Længden af modstående katete}}{\text{Længden af hypotenusen}}$$

Vi prøver det på denne trekant og vinklen beta: Det er en pæn trekant, sidelængderne er: |a| = 5, |b| = 3 og |c| = 4. Den modstående katete til vinklen beta er siden b, hypotenusen er siden a. Vi beregner kvotienten b/a, altså 3/5, hvilket er 0,6. Sinus til vinklen beta er således lig med 0,6. Vinklen beta har størrelsen 36° 52′, og hvis du taster denne vinkel ind på lommeregneren og beregner sinus, får du netop 0,6 (efter en lille afrunding).

Hvad er det godt for

Det er godt i det tilfælde, hvor du kender én vinkel og længden af én side og skal beregne de resterende sider.

Først skriver vi op, hvad vi egentlig ved. Vi kender vinklen alfa. Vi ved, at sinus til denne vinkel er lig med forholdet mellem den modstående katete (som er siden a) og hypotenusen (siden b). Skrevet matematisk:

$$\sin (\alpha )=\frac{|a|}{|b|}$$

Sinus til vinklen kender vi, eller rettere kan beregne, længden af siden a kender vi. Det eneste, vi ikke kender, er længden af siden b. Denne variabel vil vi så forsøge at isolere. Først ganger vi ligningen med længden af siden b. Vi får

$$|b|\cdot \sin (\alpha )=|a|$$

og nu skal vi bare dividere ligningen med sin(α), og vi får den ønskede form med længden af siden b på venstre side:

$$|b|=\frac{|a|}{\sin (\alpha )}.$$

Længden af siden a kender vi, den er lig med tre. Sinus til 30 grader er lig med en halv. Vi indsætter:

$$|b|=\frac{3}{0,5}=6$$

Siden b har længden seks.

Funktionen cosinus

Cosinus ligner meget funktionen sinus. Terminologien omkring funktionen cosinus er den samme som i det foregående afsnit, så lad os gå videre til definitionen:

Cosinus til vinklen alfa er lig med forholdet mellem længden af den hosliggende katete og længden af hypotenusen. Hvis vi altså på lommeregneren beregner cosinus til vinklen alfa, får vi dermed værdien af kvotienten

$$\cos (\alpha )=\frac{\text{længden af hosliggende katete}}{\text{længden af hypotenusen}}.$$

Forskellen mellem sinus og cosinus vises overskueligt på den følgende figur:

Begge funktioner arbejder med trekantens hypotenuse, den forbliver sort. Sinus arbejder så med den modstående katete, som — i forhold til vinklen alfa — er den røde side BC. Cosinus arbejder med den hosliggende katete, som er den blå side AB.

Lad os vende tilbage til eksemplet, der blev beskrevet i det forrige afsnit. Vi skulle beregne længden af hypotenusen, når vi kendte længden af siden a. Nu prøver vi at beregne længden af siden c, hvis vi kender vinklen alfa og længden af hypotenusen, som vi lige har beregnet i det foregående eksempel: b = 6.

Hvad ved vi? Vinklen alfa har størrelsen 30 grader, længden af siden b er lig med seks, og cosinus angiver os forholdet mellem den hosliggende katete og hypotenusen. Den hosliggende katete er siden c, som er den side, hvis længde vi vil finde. Vi skriver:

$$\cos (\alpha )=\frac{|c|}{|b|}$$

Vi har brug for at isolere |c| i ligningen. Det gør vi ved at gange ligningen med længden af siden b, så der på højre side netop kun bliver længden af siden c tilbage:

$$|b|\cdot \cos (\alpha )=|c|$$

Vi bytter bare om på siderne:

$$|c|=|b|\cdot \cos (\alpha )$$

På højre side har vi udtryk, som vi enten kender eller kan beregne. Cosinus til 30 grader er cirka 0,866. Vi indsætter i ligningen:

$$|c|=6\cdot \mathrm{0,866}=\mathrm{5,196}$$

Det er længden af siden c. Som vi skal se senere, er cosinus til 30 grader en eksakt værdi, som er lig med

$$\cos ({30}^{\circ })=\frac{\sqrt{3}}{2}(=\mathrm{0,866}025\dots ),$$

så den foregående længde kan vi gøre mere præcis til:

$$|c|=6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}.$$

Tangens og cotangens

Der findes yderligere to trigonometriske funktioner, tangens og cotangens. Den største forskel i forhold til de foregående trigonometriske funktioner er, at tangens og cotangens kun arbejder med kateterne, de arbejder ikke med hypotenusen.

Tangens til vinklen alfa er lig med forholdet mellem længden af den modstående katete og længden af den hosliggende katete. Tangens skriver vi sædvanligvis tan.

$$\tan (\alpha )=\frac{\text{Længden af modstående katete}}{\text{Længden af hosliggende katete}}$$

Cotangens til vinklen alfa er lig med forholdet mellem længden af den hosliggende katete og længden af den modstående katete. Cotangens skriver vi sædvanligvis cot.

$$\cot (\alpha )=\frac{\text{Længden af hosliggende katete}}{\text{Længden af modstående katete}}$$

Terminologien er igen den samme som i de foregående afsnit, og det videre arbejde med funktionerne er også det samme. Lad os vende tilbage til det foregående eksempel og prøve at beregne længden af siden c blot ud fra kendskab til størrelsen af vinklen alfa og længden af siden a, som er a = 3.

Tangens er forholdet mellem den modstående katete og den hosliggende katete, så skrevet matematisk kommer det til at se sådan ud:

$$\tan (\alpha )=\frac{|a|}{|c|}$$

Vi skal beregne længden af siden c, så vi må isolere udtrykket |c| i denne ligning. Vi ganger med udtrykket |c| og dividerer med tan(α), ligesom i de foregående eksempler.

$$\begin{array}{rcl}\tan (\alpha )& =& \frac{|a|}{|c|}/\cdot |c|\\ |c|\cdot \tan (\alpha )& =& |a|/:\tan (\alpha )\\ |c|& =& \frac{|a|}{\tan (\alpha )}\end{array}$$

Vi indsætter på højre side, hvor tangens til 30 grader er cirka lig med 0,5773.

$$|c|=\frac{3}{\mathrm{0,577}3}=\mathrm{5,196.}$$

For tangens til 30 grader findes der en eksakt værdi, det gælder, at:

$$\tan ({30}^{\circ })=\frac{\sqrt{3}}{3},$$

så den foregående beregning kan vi udføre præcist:

$$|c|=\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=3\cdot \frac{3}{\sqrt{3}}=\frac{9}{\sqrt{3}}.$$

Eksakte værdier

Sinus, cosinus, tangens og cotangens har for nogle pæne vinkler pæne værdier. Her er en grundlæggende oversigt:

$$\begin{array}{ccccc}& \sin & \cos & \tan & \cot \\ 0^{\circ }& 0& 1& 0& \times \\ {30}^{\circ }& \frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{\sqrt{3}}{3}& \sqrt{3}\\ {45}^{\circ }& \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}& 1& 1\\ {60}^{\circ }& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2}& \sqrt{3}& \frac{\sqrt{3}}{3}\\ {90}^{\circ }& 1& 0& \times & 0\end{array}$$

Links

Relaterede begreber her på siden:

• Orienteret vinkel
• Radian