Pythagoras' sætning

Pythagoras' sætning er nok den mest berømte matematiske sætning overhovedet. Om selve Pythagoras fra Samos kan du læse andetsteds. Nu kaster vi os over trekanterne.

Arealet af kvadratet over en side i trekanten

Pythagoras' sætning fortæller os om et nyttigt forhold mellem arealerne af de kvadrater, som vi konstruerer ud fra siderne i en retvinklet trekant. Forestil dig, at vi har denne retvinklede trekant:

Kvadratnettet i baggrunden viser trekantens mål. Længden af kateten AC er 4, og længden af kateten BC er 3. Men hvor lang er siden AB, trekantens hypotenuse? Ved første øjekast kan vi ikke se længden. Men vi kan prøve at regne den ud.

Først konstruerer vi kvadratet over kateten BC. Det betyder, at vi konstruerer et kvadrat, hvor alle sider har samme længde som siden BC, altså tre. På figuren ville vi tegne det sådan:

Nu har vi fået kvadratet BCDE, hvor alle sider har længden 3. Hvad er arealet af sådan et kvadrat? Kvadratets areal beregner vi ved at gange længderne af to af kvadratets sider, så arealet af kvadratet BCDE er 3 · 3 = 9. Nu tegner vi kvadratet over den anden katete, kateten AC. Et sådant kvadrat har sidelængden 4.

Dette kvadrat har arealet 4 · 4 = 16. Nu tegner vi det sidste kvadrat, over hypotenusen AB:

Hvad dette nye kvadrats areal er, ved vi endnu ikke, fordi vi ikke kender længden af siden AB. Men nu kan vi udnytte Pythagoras' sætning. Den siger nemlig, at arealet af dette sidste kvadrat ABHI er lig med summen af arealerne af de to foregående kvadrater. De første to kvadrater havde altså arealerne 9 og 16, og det sidste kvadrat har så — ifølge Pythagoras' sætning — arealet 9 + 16 = 25. Vi tegner det ind på figuren:

Og nu mangler vi kun at besvare det sidste spørgsmål — hvis kvadratet ABHI har arealet 25, hvad er så længden af dette kvadrats sider? Den må være kvadratroden af 25, så længden af siden AB er $\sqrt{25}=5$. Når vi kontrollerer det og beregner arealet af et kvadrat med sidelængden 5, får vi arealet 5 · 5 = 25. Og nu kan vi gå i gang med tallene og definitionerne.

Definition

Pythagoras' sætning lyder nogenlunde sådan her: »Arealet af kvadratet over hypotenusen i en retvinklet trekant er lig med summen af arealerne af kvadraterne over dens kateter«. Matematisk skrives sætningen som regel sådan her

$$c^2=a^2+b^2,$$

hvor a og b er længderne af kateterne i trekanten, og c er længden af hypotenusen.

Hvad siger Pythagoras' sætning så, og hvordan hænger denne skrivemåde sammen med den foregående figur? Arealet af kvadratet over en side i trekanten betyder, at vi tager et kvadrat, hvis sidelængde er lig med længden af den pågældende side, og beregner dets areal. Arealet af et kvadrat beregner vi ved at gange den ene sidelængde med den anden sidelængde, altså hvis siden har længden c, bliver arealet lig med: c · c, hvilket vi ved hjælp af potenser kan skrive som c².

Skrivemåden c² = a² + b² kan vi altså læse som »arealet af kvadratet med sidelængden c er lig med summen af arealerne af kvadraterne med sidelængderne a og b«.

Endnu en gang understreger jeg, at sætningen kun gælder i en retvinklet trekant, ikke i en vilkårlig trekant. Pythagoras' sætning bruges klassisk i de tilfælde, hvor du kender to sidelængder og skal beregne længden af den sidste side. Hvis vi altså kender længden af begge kateter a og b og vil finde længden af hypotenusen c, så beregner vi arealerne over kateterne, dvs. vi beregner a² + b². Dermed får vi arealet af kvadratet over hypotenusen c, altså får vi c². For at få sidelængden c tager vi bare kvadratroden af det beregnede areal. Dermed får vi formlen:

$$c=\sqrt{a^2+b^2},$$

hvor c er længden af hypotenusen, og a, b er længderne af kateterne. Hvis vi omvendt kender længden af hypotenusen og af den ene katete og vil beregne længden af den anden katete, regner vi på samme måde, bare at vi først isolerer en af kateterne i ligningen. Så hvis vi kender c og b og vil beregne a, så skal vi i ligningen

$$c^2=a^2+b^2,$$

isolere a² ved at trække b² fra:

$$c^2-b^2=a^2,$$

bytte om på venstre og højre side:

$$a^2=c^2-b^2$$

og til sidst tage kvadratroden:

$$a=\sqrt{c^2-b^2}$$

Første eksempel

Lad os tage trekanten ABC, hvor vi kender længden af to sider: a = 3 og b = 4. Det er den samme trekant, som vi havde i begyndelsen. Spørgsmålet er, hvad længden af den resterende side, siden c, er. Vi prøver at beregne den ved hjælp af den givne formel. Trekanten vises på den følgende figur:

Vi ser, at vi kender længden af de to kateter, og at længden af hypotenusen mangler. Derfor bruger vi den første, uomformede formel:

$$c=\sqrt{a^2+b^2}$$

Vi indsætter sidelængderne for variablerne a og b:

$$c=\sqrt{3^2+4^2}$$

I formlen har vi en anden potens — som en påmindelse gælder følgende sammenhæng:

$$a^2=a\cdot a\to 4^2=4\cdot 4=16$$

Så når vi har udregnet kvadraterne, får vi:

$$\begin{array}{rcl}c& =& \sqrt{3^2+4^2}\\ c& =& \sqrt{9+16}\\ c& =& \sqrt{25}\\ c& =& 5\end{array}$$

Resultatet er, at længden af siden c er lig med fem.

Andet eksempel

I dette eksempel prøver vi at beregne længden af en af kateterne, når vi kender den ene katete og desuden længden af hypotenusen. Vi har altså trekanten ABC med sidelængderne |AC| = 10 og |BC| = 6. Trekanten vises på den følgende figur:

Af figuren ser vi, at hypotenusen, altså den længste side, er siden |AC|. Vi skal beregne længden af siden |AB|. Vi indsætter i den anden formel, som bruges til at beregne længden af en katete:

$$a=\sqrt{c^2-b^2}$$

For at bruge Pythagoras' sætning rigtigt må vi nu gøre os klart, hvad hver variabel betegner. I denne formel er variablen a længden af den side, som vi vil beregne, i vores tilfælde siden |AB|. Variablen c er længden af hypotenusen, den længste side, i vores tilfælde siden |AC|. Og variablen b er længden af den katete, hvis længde vi kender, i vores tilfælde |BC|. Derfor indsætter vi i formlen på denne måde:

$$|AB|=\sqrt{|AC{|}^2-|BC{|}^2}$$

Vi indsætter de konkrete sidelængder, som vi kender:

$$|AB|=\sqrt{{10}^2-6^2}$$

Vi beregner potenserne og trækker fra:

$$|AB|=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}$$

Og til sidst tager vi kvadratroden:

$$|AB|=8$$

Længden af siden |AB| er lig med otte.

Tekstopgave

Forestil dig, at du går hen til en veninde ad en lige vej. Vejen er 250 meter lang. Efter denne kvart kilometer drejer du til venstre og går yderligere 100 meter, og så er du hos din gode veninde. Spørgsmålet er, hvor meget kortere vejen bliver, hvis du går den direkte vej over marken.

Som det første skridt beregner vi længden af vejen, når du går ad landevejen. Du går først 250 meter ligeud og derefter 100 meter til venstre. Det er i alt 250 + 100 = 350 meter. Nu er det tid til at beregne længden af vejen over marken. Til det får vi brug for en figur.

Én rude på figuren svarer til 50 meter. Hvordan ville den direkte vej over marken se ud? Det ville være et linjestykke fra punktet A til punktet C. Vi tegner det ind på figuren med rødt.

Nu kan vi se, at for at beregne længden af vejen over marken er det nok at anvende Pythagoras' sætning på en passende måde. Vi søger længden af hypotenusen og kender længden af begge kateter, så vi bruger den første formel og indsætter i den sådan her:

$$|AC|=\sqrt{|AB{|}^2+|CB{|}^2}$$

Vi indsætter længderne:

$$|AC|=\sqrt{{250}^2+{100}^2}$$

Vi kvadrerer:

$$|AC|=\sqrt{62500+10000}=\sqrt{72500}$$

Vi tager kvadratroden og runder af:

$$|AC|=269$$

Længden af vejen over marken er 269 meter. Det er endnu ikke slutningen på opgaven, for spørgsmålet var, hvor meget kortere vejen over marken er. Vi trækker derfor længderne fra hinanden, og forskellen kalder vi r:

$$r=350-269=81$$

Svaret er, at vejen er omkring 81 meter kortere.

Sidelængden af et kvadrat

Hvad er sidelængden af et kvadrat, hvis diagonal har længden ti? Hvordan hjælper Pythagoras' sætning os med det? Vi må i kvadratet finde en retvinklet trekant, som vi kan bruge til at beregne kvadratets sidelængde. Som en påmindelse: et kvadrat har fire lige lange sider. Lad os tegne den aktuelle situation:

Vi ser, at der pludselig er kommet to trekanter i kvadratet, som har en ret vinkel, og som vi kunne bruge til at beregne sidelængden. Lad os tage for eksempel trekanten BCD. Siden DB er hypotenusen, de to andre er kateter. Længderne af kateterne kender vi ikke, men vi kender længden af hypotenusen. Disse kateter har samme længde, altså |BC| = |CD|. Vi bruger den grundlæggende Pythagoras' sætning:

$$|BD{|}^2=|BC{|}^2+|CD{|}^2$$

Men fordi kateterne er lige lange, er det nok at beregne kvadratet på den ene katete og gange det med to — vi behøver ikke at beregne kvadratet på begge kateter, for de er ens, og vi ville få det samme resultat. Vi kan altså skrive:

$$|BD{|}^2=2(|BC{|}^2)$$

Vi kender længden af siden BD, det er hypotenusen. Længden er lig med ti. Vi indsætter i ligningen:

$${10}^2=2(|BC{|}^2)$$

Vi kvadrerer ti:

$$100=2(|BC{|}^2)$$

Vi dividerer med to:

$$\frac{100}{2}=|BC{|}^2$$

Vi forkorter brøken:

$$50=|BC{|}^2$$

Nu er vi næsten fremme ved målet. Vi ved, at kvadratet på kvadratets sidelængde er lig med 50. For at finde sidelængden må vi derfor endnu tage kvadratroden af ligningen, hvilket vi kan tillade os, fordi vi bevæger os blandt de positive tal:

$$\sqrt{50}=\sqrt{|BC{|}^2}$$

Kvadratroden af halvtreds lader vi stå i denne form, men på den højre side af ligningen kan vi fjerne kvadratroden og potensen, fordi de ophæver hinanden.

$$\sqrt{50}=|BC|$$

Hvis du har lyst, kan du også tage kvadratroden af halvtreds. Afrundet ville du få syv:

$$7=|BC|$$

Det gælder altså, at kvadratets sidelængde er cirka syv, præcis kvadratroden af halvtreds.

Beregner

Hypotenusen beregner du ud fra begge kateter, kateten ud fra hypotenusen og den anden katete. Enhederne kan du skifte ved hvert felt.