Πώς να υπολογίσεις τους τόκους ενός στεγαστικού δανείου

Το συνηθισμένο στεγαστικό δάνειο είναι ένα δάνειο που παίρνουμε όταν θέλουμε να αγοράσουμε ακίνητο – συνήθως σπίτι ή διαμέρισμα. Ας δούμε με ποιον τρόπο υπολογίζονται οι τόκοι που θα πρέπει να πληρώσεις για το δάνειο.

Ετήσιος τόκος και μηνιαίος τοκισμός

Κάθε στεγαστικό δάνειο έχει ένα ετήσιο επιτόκιο, που δίνεται σε ποσοστό. Μπορεί λοιπόν να δεις διαφήμιση στεγαστικού δανείου με επιτόκιο 3% ετησίως. Με απλά λόγια και όχι ακριβώς: αν δανειστείς 40.000 €, θα πληρώσεις μέσα σε ένα χρόνο 3% σε τόκους, δηλαδή 1200 €.

Στην πραγματικότητα όμως δεν θα πληρώσεις ακριβώς 1200 €, θα πληρώσεις λιγότερα. Το συνηθισμένο στεγαστικό δάνειο το αποπληρώνεις σε μηνιαίες δόσεις και το ίδιο συχνά η τράπεζα σού υπολογίζει τόκους. Αντί να σου υπολογίσει έναν ετήσιο τόκο, σου υπολογίζει δώδεκα μηνιαίους τόκους. Και επειδή εσύ αποπληρώνεις σταδιακά το δάνειο, χρωστάς στην τράπεζα όλο και λιγότερα χρήματα και γι' αυτό και το ύψος του τόκου γίνεται όλο και μικρότερο. Ας το δούμε σε ένα παράδειγμα. Δανείζεσαι 40.000 € με ετήσιο επιτόκιο 3% και δόση 400 € τον μήνα. Πόσος θα είναι ο πρώτος τόκος;

Πρώτη δόση

Πρώτα υπολογίζουμε το μηνιαίο επιτόκιο. Υπολογίζεται αν διαιρέσουμε το ετήσιο επιτόκιο με το δώδεκα:

$$\frac{3\mathrm{\%}}{12}=0,25\mathrm{\%}$$

Το μηνιαίο επιτόκιο είναι λοιπόν 0,25%. Τον πρώτο μήνα θα πληρώσουμε στην τράπεζα το 0,25% αυτού που της χρωστάμε ακόμα, δηλαδή των 40.000 €. Το 0,25% το υπολογίζουμε ως

$$40000\cdot 0,25\mathrm{\%}=40000\cdot \mathrm{0,002}5=100$$

Τον πρώτο μήνα θα πληρώσουμε στην τράπεζα 100 € τόκους. Επειδή η μηνιαία δόση μας είναι 400 €, μετά τον πρώτο μήνα χρωστάμε στην τράπεζα

$$40000+100-400=39700$$

39.700 €. Η πρώτη μας δόση αποτελείται λοιπόν από 100 € που πήγαν στον τόκο και 300 € με τα οποία εξοφλήσαμε μέρος του χρέους μας προς την τράπεζα. Αυτά τα 300 € τα λέμε χρεολύσιο.

Δεύτερη δόση

Πώς θα ήταν τον δεύτερο μήνα; Το μηνιαίο επιτόκιο δεν αλλάζει, παραμένει 0,25%. Αλλάζει όμως το ποσό που χρωστάμε στην τράπεζα για το δάνειο. Αυτό το ποσό το λέμε κεφάλαιο και μετά τον πρώτο μήνα είναι 39.700 €. Τον νέο μηνιαίο τόκο τον υπολογίζουμε ακριβώς όπως τον πρώτο μήνα, μόνο που αντί για 40.000 € θα υπολογίσουμε με 39.700 €, δηλαδή θα υπολογίσουμε το 0,25% των 39.700 €:

$$39700\cdot 0,25\mathrm{\%}=39700\cdot \mathrm{0,002}5=99,25$$

Τον δεύτερο μήνα ο τόκος είναι λοιπόν μόνο 99,25 € αντί για 100 € – επειδή έχουμε ήδη εξοφλήσει μέρος του χρέους και έχουμε μικρότερο κεφάλαιο. Το χρεολύσιο θα είναι

$$400-99,25=300,75$$

Τον δεύτερο μήνα εξοφλήσαμε έτσι από το δάνειο περισσότερα απ' ό,τι τον πρώτο και συνολικά χρωστάμε πια μόνο

$$39700-300,75=39399,25$$

Επόμενες δόσεις…

Οι επόμενες δόσεις υπολογίζονται πάντα με τον ίδιο τρόπο, μέχρι να φτάσουμε στο μηδέν. Τον τρίτο μήνα θα υπολογίζαμε τον τόκο ως

$$39399,25\cdot 0,25\mathrm{\%}=39399,25\cdot \mathrm{0,002}5=98,50$$

Βλέπουμε ότι ο τόκος των 98,50 € είναι πάλι λίγο μικρότερος από τον προηγούμενο μήνα και αντίθετα το χρεολύσιο των 301,50 € είναι πάλι λίγο μεγαλύτερο. Κάθε επόμενο μήνα ο τόκος θα γίνεται μικρότερος και μικρότερος, επειδή χρωστάμε στην τράπεζα όλο και λιγότερα χρήματα. Και το χρεολύσιο θα γίνεται όλο και μεγαλύτερο – με τον καιρό εξοφλούμε το δάνειο όλο και πιο γρήγορα, επειδή πληρώνουμε λιγότερα χρήματα σε τόκους και περισσότερα πηγαίνουν στην αποπληρωμή του κεφαλαίου.

Μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι, παρότι ο ετήσιος τόκος ήταν 3%, δεν θα πληρώσουμε 1200 € σε τόκους. Για να πληρώσουμε 1200 € σε τόκους, θα έπρεπε να πληρώνουμε 100 € τόκους κάθε μήνα. Εμείς όμως κάθε μήνα πληρώνουμε όλο και λιγότερα και στο τέλος θα πληρώσουμε σε τόκους λιγότερα από 1200 €.

Ουσιαστικά αυτά είναι όλα όσα χρειάζεται να ξέρεις για το πώς υπολογίζονται οι τόκοι ενός στεγαστικού δανείου. Ας δούμε όμως και μερικά ακόμα ενδιαφέροντα.

Ακριβής υπολογισμός του μηνιαίου τόκου

Στην αρχή είπαμε ότι τον μηνιαίο τόκο τον υπολογίζουμε ως

$$\frac{3\mathrm{\%}}{12}=0,25\mathrm{\%}$$

Αυτός είναι ο υπολογισμός που χρησιμοποιούν οι τράπεζες, αλλά μαθηματικά δεν είναι σωστός. Οι τράπεζες τον χρησιμοποιούν μάλλον για ιστορικούς λόγους, επειδή η διαίρεση με το δώδεκα είναι απλούστερη από τη μαθηματικά σωστή διαδικασία. Τι θέλουμε στην ουσία να πετύχουμε όταν υπολογίζουμε τον μηνιαίο τόκο; Ο ετήσιος τόκος 3% στα 40.000 € μάς λέει ότι μέσα σε ένα χρόνο ο πελάτης θα πλήρωνε 1200 € τόκους. Ας φανταστούμε ότι ο πελάτης δεν πλήρωνε καθόλου δόσεις όλο τον χρόνο και άφηνε μόνο να του πιστώνονται οι τόκοι. Ποιο μηνιαίο επιτόκιο θα έπρεπε να έχουμε, ώστε μετά από δώδεκα μήνες να έχουμε συγκεντρώσει σε τόκους ακριβώς 1200 €; Αν χρησιμοποιήσουμε τον τύπο μας «διά δώδεκα», παίρνουμε πράγματι περισσότερα από 1200 €. Ας το υπολογίσουμε για να δούμε:

Πρώτα θα δείξουμε πώς προσθέτουμε απλά τους τόκους στο κεφάλαιο. Αν υπολογίσαμε το μηνιαίο επιτόκιο ως 0,25%, το τελικό ποσό μετά την προσθήκη των τόκων προκύπτει αν πολλαπλασιάσουμε το κεφάλαιο με τον αριθμό 1,0025:

$$40000\cdot \mathrm{1,002}5=40100$$

Μετά από δύο μήνες χωρίς δόσεις το κεφάλαιο θα ισούται με

$$40000\cdot \mathrm{1,002}5\cdot \mathrm{1,002}5=40200,25$$

Δηλαδή πολλαπλασιάζουμε τις 40.000 € με τον αριθμό 1,0025 όσες φορές θέλουμε να πιστώσουμε τόκο. Για να το απλοποιήσουμε, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε δυνάμεις, αφού ξέρουμε ότι

$$\mathrm{1,002}5\cdot \mathrm{1,002}5=\mathrm{1,002}{5}^2$$

μπορούμε να γράψουμε

$$40000\cdot \mathrm{1,002}{5}^2=40200,25$$

Εμείς θέλουμε να ξέρουμε πόσο θα ήταν το ποσό μετά από 12 μήνες:

$$40000\cdot \mathrm{1,002}{5}^{12}=41216,64$$

Βλέπουμε ότι μετά από 12 μήνες το κεφάλαιο θα ισούταν με 41.216,64 €, που είναι κατά 16,64 € περισσότερα απ' ό,τι θα έπρεπε. Δηλαδή… δεν είναι και τόσο μεγάλη διαφορά, ας το παραδεχτούμε, αλλά πάντως το σωστό αποτέλεσμα δεν είναι. Πώς θα το διορθώσουμε;

Ας γυρίσουμε ξανά στο ετήσιο επιτόκιο του δανείου μας. Αν θέλουμε να βρούμε πόσο θα ήταν το κεφάλαιο αν εφαρμόζαμε πάνω του ετήσιο τόκο τρία τοις εκατό, μπορούμε να το γράψουμε ως εξής:

$$40000\cdot 1,03=41200$$

Τώρα θέλουμε να αναλύσουμε τον αριθμό 1,03 σε γινόμενο δώδεκα ίσων αριθμών, και έτσι να πάρουμε το ένα συν το μηνιαίο επιτόκιο. Δηλαδή, το γινόμενο ποιων δώδεκα ίσων αριθμών μάς δίνει αποτέλεσμα 1,03; Είναι η δωδέκατη ρίζα του 1,03:

$$1,03=\sqrt[12]{1,03}\cdot \sqrt[12]{1,03}\cdot \dots \cdot \sqrt[12]{1,03}$$

Μπορούμε να υπολογίσουμε ότι η δωδέκατη ρίζα του 1,03 είναι 1,0024662 και κάτι ψιλά, που πραγματικά δεν διαφέρει πολύ από τον αριθμό 1,0025 που βρήκαμε με τη μέθοδο της διαίρεσης με το δώδεκα. Είναι όμως το σωστό αποτέλεσμα: αν το μηνιαίο επιτόκιό μας ήταν ίσο με $\sqrt[12]{1,03}-1$, το κεφάλαιο μετά από ένα χρόνο χωρίς δόσεις θα αυξανόταν ακριβώς κατά τρία τοις εκατό.

Ημερήσιος και μηνιαίος τόκος

Ενδιαφέρον είναι ότι ορισμένες τράπεζες υπολογίζουν τον μηνιαίο τόκο στα στεγαστικά δάνεια λίγο διαφορετικά. Ο υπολογισμός του μηνιαίου τόκου με διαίρεση του ετήσιου με το δώδεκα έχει και μια παρενέργεια: για όλους τους μήνες παίρνουμε το ίδιο επιτόκιο, παρότι οι μήνες έχουν διαφορετική διάρκεια. Ο Φεβρουάριος και ο Ιούλιος παίρνουν το ίδιο επιτόκιο. Πώς το ξεπερνάμε; Μερικές τράπεζες το λύνουν διαιρώντας τον ετήσιο τόκο με το 360, οπότε παίρνουν ημερήσιο επιτόκιο, και μετά πολλαπλασιάζουν αυτό το ημερήσιο επιτόκιο με τον αριθμό των ημερών του μήνα.

Γιατί διαιρούν με το 360 και όχι με το 365 ή το 366; Επειδή πάλι είναι πιο απλό στον υπολογισμό.