Αριθμομηχανή: μηνιαίο και πραγματικό ετήσιο επιτόκιο

Η τράπεζα γράφει ότι ο λογαριασμός ταμιευτηρίου έχει επιτόκιο 5% ετησίως, αλλά πιστώνει τους τόκους κάθε μήνα. Κάθε μήνα παίρνεις λοιπόν το ένα δωδέκατο, δηλαδή περίπου 0,417%. Επειδή τον επόμενο μήνα τοκίζονται και οι τόκοι που πιστώθηκαν νωρίτερα, τα χρήματα αποδίδουν μέσα σε έναν χρόνο λίγο περισσότερο από 5%, περίπου 5,12%. Ο αριθμός που γράφει η τράπεζα στη διαφήμιση λέγεται ονομαστικό επιτόκιο, ενώ αυτό που πραγματικά παίρνεις μέσα σε έναν χρόνο λέγεται πραγματικό επιτόκιο.

Από 100 € σε λογαριασμό με επιτόκιο 5% ετησίως θα έχεις σε έναν χρόνο 105,12 €, όχι 105 €. Στο δάνειο ισχύει το ίδιο, μόνο που εδώ βγαίνει εις βάρος του δανειολήπτη.

Αντίστροφα: από το πραγματικό ετήσιο επιτόκιο στο μηνιαίο

Μερικές φορές γνωρίζουμε το πραγματικό επιτόκιο, για παράδειγμα όταν θέλουμε τα χρήματα να αυξηθούν ακριβώς κατά 5% σε έναν χρόνο, και ψάχνουμε το μηνιαίο επιτόκιο που το πετυχαίνει.

Πώς υπολογίζεται

Η αριθμομηχανή υπολογίζει με τον τύπο

$$r_{ef}={(1+\frac{r}{12})}^{12}-1$$

Εδώ r είναι το ονομαστικό ετήσιο επιτόκιο και r_ef το πραγματικό, και τα δύο ως δεκαδικοί αριθμοί (το 5% είναι 0,05).

Το ονομαστικό επιτόκιο 5% το διαιρούμε με το δώδεκα και παίρνουμε το μηνιαίο 5:12 ≈ 0,417%. Μέσα σε έναν χρόνο ο τόκος πιστώνεται δώδεκα φορές, άρα τα χρήματα πολλαπλασιάζονται με

$${(1+\frac{0,05}{12})}^{12}\approx \mathrm{1,051}2$$

Το πραγματικό επιτόκιο είναι επομένως 5,12%. Η διαφορά μεγαλώνει με το ύψος του επιτοκίου: με 20% ετησίως το πραγματικό επιτόκιο είναι ήδη 21,94%. Γι' αυτό στα δάνεια, εκτός από το επιτόκιο αναφέρεται και το ΣΕΠΕ (συνολικό ετήσιο πραγματικό επιτόκιο), που εκτός από αυτόν τον ανατοκισμό περιλαμβάνει και τις χρεώσεις.

Αντίστροφα, όταν γνωρίζουμε το πραγματικό επιτόκιο και ψάχνουμε το μηνιαίο, μας βοηθά η δωδέκατη ρίζα:

$$i=\sqrt[12]{1+r_{ef}}-1$$

Το ονομαστικό ετήσιο επιτόκιο είναι τότε δώδεκα φορές το μηνιαίο. Για 5% βγαίνει $\sqrt[12]{1,05}\approx \mathrm{1,004}074$, άρα το μηνιαίο επιτόκιο είναι 0,407% και το ονομαστικό ετήσιο 12 · 0,407 ≈ 4,89%. Μια τράπεζα που θέλει να αποδώσει πραγματικά ακριβώς 5%, με μηνιαία πίστωση τόκων, θα έπρεπε να διαφημίζει 4,89%. Αναλυτικότερα εξηγεί αυτή την παραγωγή το άρθρο για τους τόκους του στεγαστικού δανείου.