Αριθμομηχανή: όγκος κυλινδρικής δεξαμενής και πόσο νερό περιέχει

Κυλινδρικές δεξαμενές βρόχινου νερού, βαρέλια πετρελαίου ή βυτία νερού έχουν σχήμα κυλίνδρου. Πόσο χωρούν, υπολογίζεται εύκολα. Πιο ενδιαφέρον είναι πόσο περιέχουν τώρα: αρκεί να μετρήσεις με μέτρο μέχρι πού φτάνει η στάθμη.

Όρθια δεξαμενή

Στη δεξαμενή που στέκεται όρθια στο έδαφος τα πράγματα είναι απλά. Ολόκληρος ο όγκος είναι ο όγκος του κυλίνδρου π · r² · υ, όπου η ακτίνα r είναι το μισό της διαμέτρου. Το υγρό σχηματίζει μικρότερο κύλινδρο με την ίδια βάση και ύψος στάθμης h, άρα είναι π · r² · h. Στάθμη στο μισό ύψος σημαίνει ότι η δεξαμενή είναι μισογεμάτη.

Οριζόντια δεξαμενή

Όταν ο κύλινδρος είναι ξαπλωμένος στο πλάι, δεν ισχύει πια ότι το περιεχόμενο αυξάνεται ομοιόμορφα με το ύψος της στάθμης. Κάτω η δεξαμενή είναι στενή, στη μέση η πιο φαρδιά, γι' αυτό τα πρώτα εκατοστά της στάθμης προσθέτουν λίγο υγρό, ενώ εκείνα κοντά στο μέσο τα περισσότερα.

Προσοχή στην εκτίμηση με το μάτι. Όταν η στάθμη σε οριζόντια δεξαμενή φτάνει στο ένα τέταρτο της διαμέτρου, η δεξαμενή δεν είναι γεμάτη κατά ένα τέταρτο, αλλά μόνο κατά περίπου ένα πέμπτο.

Πώς υπολογίζεται η οριζόντια δεξαμενή

Η διατομή του υγρού στην οριζόντια δεξαμενή είναι κυκλικό τμήμα. Το εμβαδόν του, για ακτίνα r και ύψος στάθμης h, είναι

$$E=r^2\cdot \arccos \frac{r-h}{r}-(r-h)\cdot \sqrt{2rh-h^2}$$

Ο όγκος του υγρού είναι λοιπόν αυτό το εμβαδόν επί το μήκος L της δεξαμενής. Η γωνία που προκύπτει από το τόξο συνημιτόνου υπολογίζεται σε ακτίνια.