Rechner: Volumen eines Zylindertanks und Füllstand

Zylindrische Regentonnen, Fässer für Diesel oder Wasserzisternen haben die Form eines Zylinders. Wie viel hineinpasst, lässt sich leicht berechnen. Interessanter ist, wie viel gerade darin ist. Du musst nur mit einem Maßband messen, wie hoch der Flüssigkeitsspiegel reicht.

Stehender Tank

Bei einem Tank, der auf dem Boden steht, ist es einfach. Das gesamte Volumen ist das Volumen des Zylinders π · r² · H, wobei der Radius r die Hälfte des Durchmessers ist. Die Flüssigkeit im Tank bildet einen kleineren Zylinder mit derselben Grundfläche und der Füllhöhe h, also ist ihr Volumen π · r² · h. Steht der Flüssigkeitsspiegel in halber Höhe, ist der Tank halb voll.

Liegender Tank

Wenn der Zylinder auf der Seite liegt, wächst die Füllmenge nicht mehr gleichmäßig mit der Füllhöhe. Unten ist der Tank schmal, in der Mitte am breitesten. Die ersten Zentimeter des Flüssigkeitsspiegels bringen deshalb wenig Flüssigkeit, die Zentimeter um die Mitte herum am meisten.

Vorsicht beim Schätzen mit dem Auge. Reicht der Flüssigkeitsspiegel in einem liegenden Tank bis zu einem Viertel des Durchmessers, ist der Tank nicht zu einem Viertel, sondern nur zu etwa einem Fünftel gefüllt.

So wird beim liegenden Tank gerechnet

Der Querschnitt der Flüssigkeit im liegenden Tank ist ein Kreissegment. Sein Flächeninhalt beim Radius r und der Füllhöhe h ist

$$A=r^2\cdot \arccos \frac{r-h}{r}-(r-h)\cdot \sqrt{2rh-h^2}$$

Das Volumen der Flüssigkeit ist dann dieser Flächeninhalt mal die Länge L des Tanks. Den Winkel aus dem Arkuskosinus erhält man im Bogenmaß.