Calculatrice : volume d’une cuve cylindrique et quantité d’eau qu’elle contient

Les cuves cylindriques pour l’eau de pluie, les fûts de gazole ou les citernes d’eau ont la forme d’un cylindre. Leur contenance se calcule facilement. Plus intéressant : combien il y en a en ce moment ? Il suffit de mesurer au mètre jusqu’où monte le niveau.

Cuve posée debout

Pour une cuve posée sur son fond, c’est simple. Le volume total est le volume du cylindre π · r² · v, où le rayon r est la moitié du diamètre. Le liquide forme un cylindre plus petit, de même base, dont la hauteur est celle du niveau h ; son volume vaut donc π · r² · h. Un niveau à mi-hauteur signifie que la cuve est à moitié pleine.

Cuve couchée

Quand le cylindre est couché sur le flanc, le volume n’augmente plus régulièrement avec la hauteur du niveau. En bas, la cuve est étroite, au milieu elle est la plus large : les premiers centimètres de niveau ajoutent donc peu de liquide, et ceux qui sont autour du milieu en ajoutent le plus.

Méfie-toi de l’estimation à vue d’œil. Quand le niveau, dans une cuve couchée, atteint un quart du diamètre, la cuve n’est pas remplie au quart, mais seulement à environ un cinquième.

Comment on le calcule pour une cuve couchée

La section occupée par le liquide dans une cuve couchée est un segment circulaire. Son aire, pour un rayon r et une hauteur de niveau h, est

$$S=r^2\cdot \arccos \frac{r-h}{r}-(r-h)\cdot \sqrt{2rh-h^2}$$

Le volume du liquide est cette aire multipliée par la longueur L de la cuve. L’angle donné par l’arccosinus s’exprime en radians.