Υπόχωρος διανυσματικού χώρου

Ο υπόχωρος είναι ένα υποσύνολο ενός διανυσματικού χώρου που παραμένει κλειστό ως προς την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό με αριθμό.

Ορισμός

Έστω ένας διανυσματικός χώρος V. Υπόχωρος W του V είναι ένα υποσύνολο του V, το οποίο είναι το ίδιο διανυσματικός χώρος. Ένα μη κενό υποσύνολο W ⊆ V πρέπει λοιπόν να ικανοποιεί τις παρακάτω δύο συνθήκες, για να είναι υπόχωρος του V: για όλα τα x, y ∈ W και για κάθε a ∈ ℝ:

• x + y ∈ W,
• a · x ∈ W.

Πρέπει δηλαδή να διαλέξουμε από το V ένα τέτοιο υποσύνολο, ώστε τα διανύσματά του να είναι κλειστά ως προς την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό.

Υπόχωρος του χώρου R³

Ας πάρουμε τον χώρο ℝ³ και ας βρούμε έναν υπόχωρο.

1. Τι λες για όλες τις τριάδες της μορφής (a, a, a), όπου a ∈ ℝ; Δηλαδή τριάδες όπως οι $(1,1,1),(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ ή (−π, −π, −π). Ένας τέτοιος υπόχωρος, ας τον ονομάσουμε W₁, θα ήταν υποσύνολο του ℝ³, δηλαδή W₁ ⊆ ℝ³, αφού ο ℝ³ περιέχει απλώς όλες τις τριάδες.

Ένας τέτοιος χώρος θα ήταν κλειστός ως προς την πρόσθεση διανυσμάτων, επειδή

$$(a,a,a)+(b,b,b)=(a+b,a+b,a+b).$$

Μετά την πρόσθεση δύο διανυσμάτων παίρνουμε ένα νέο διάνυσμα, που έχει πάλι τρεις ίσες συντεταγμένες, και ένα τέτοιο διάνυσμα ανήκει στο σύνολο W₁. Το σύνολο W₁ ικανοποιεί επομένως την πρώτη συνθήκη του υπόχωρου. Ικανοποιεί όμως και τη δεύτερη;

Ναι, την ικανοποιεί, επειδή το k-πλάσιο αλλάζει και τις τρεις συνιστώσες του διανύσματος, αλλά τις αλλάζει με τον ίδιο ακριβώς τρόπο:

$$k\cdot (a,a,a)=(k\cdot a,k\cdot a,k\cdot a).$$

Παίρνουμε πάλι ένα διάνυσμα με και τις τρεις συνιστώσες ίσες, και ένα τέτοιο διάνυσμα ανήκει στο W₁. Το σύνολο W₁ είναι λοιπόν υπόχωρος του ℝ³.

• Μπορούμε να δοκιμάσουμε όλες τις τριάδες (a, b, c) με a, b, c ∈ [−1, 1]. Αυτό το σύνολο το ονομάζουμε W₂ και στοιχεία του είναι για παράδειγμα οι τριάδες $(\frac{1}{2},-\frac{2}{7},\frac{8}{9})$ ή $(0,\frac{\pi }{4},1)$. Είναι τα στοιχεία του W₂ κλειστά ως προς την πρόσθεση; Σίγουρα όχι, επειδή το $(1,1,1)+(\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4})$ ισούται με την τριάδα $(\frac{3}{2},\frac{4}{3},\frac{5}{4})$, που δεν ανήκει στο W₂. Το σύνολο W₂ δεν είναι λοιπόν υπόχωρος του ℝ³, το σύνολο W₂ δεν είναι ούτε καν χώρος.

• Τώρα παίρνουμε όλες τις τριάδες της μορφής (a, 0, b), όπου a, b ∈ ℝ. Είναι όλες οι τριάδες που έχουν μηδενική τη δεύτερη συνιστώσα. Ονομάζουμε αυτό το σύνολο W₃. Είναι κλειστό ως προς την πρόσθεση; Ναι, είναι, επειδή

$$(a,0,b)+(c,0,d)=(a+c,0,b+d)$$

Το αποτέλεσμα είναι η τριάδα (a + c, 0, b + d), που έχει μηδενική τη δεύτερη συνιστώσα, ενώ οι άλλες δύο είναι πραγματικοί αριθμοί. Αυτή η τριάδα ανήκει σίγουρα στο W₃. Είναι το W₃ κλειστό ως προς τον πολλαπλασιασμό; Ναι, είναι, επειδή

$$k\cdot (a,0,b)=(k\cdot a,0,k\cdot b)$$

Παίρνουμε πάλι την τριάδα (k · a, 0, k · b), που έχει πάντα μηδενική τη δεύτερη συνιστώσα, ενώ οι άλλες είναι πραγματικοί αριθμοί. Μια τέτοια τριάδα είναι στοιχείο του W₃. Το σύνολο W₃ αποτελεί επομένως υπόχωρο του ℝ³. Παρατήρησε ότι και αν οι τριάδες είχαν τη μορφή (a, b, 0) ή (a, 0, 0), θα αποτελούσαν επίσης υπόχωρο.

Υπόχωρος πολυωνύμων

Στο προηγούμενο άρθρο δείξαμε έναν διανυσματικό χώρο που αποτελείται από πολυώνυμα. Για επανάληψη: πολυώνυμο είναι μια παράσταση της μορφής

$$p(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots +a_n{x}^n.$$

Υποθέτουμε ότι a_n ≠ 0. Ο βαθμός ενός τέτοιου πολυωνύμου είναι τότε ακριβώς ο αριθμός n. Οι πραγματικοί αριθμοί a₀, …, a_n ονομάζονται συντελεστές του πολυωνύμου. Παράδειγμα πολυωνύμου είναι η παράσταση 4 + 3x − 7x². Ας προσπαθήσουμε να βρούμε κάποιον υπόχωρο. Έστω λοιπόν ο διανυσματικός χώρος P(x) όλων των πολυωνύμων.

1. Πρώτα δοκιμάζουμε το σύνολο όλων των πολυωνύμων βαθμού n, όπου n ≥ 0, και το ονομάζουμε W₁. Στο προηγούμενο άρθρο αναφέραμε ήδη ότι αυτό δεν είναι καθόλου διανυσματικός χώρος, άρα δύσκολα θα είναι υπόχωρος του P(x). Ας επαναλάβουμε ότι αν πολλαπλασιάσουμε ένα πολυώνυμο του W₁ με το μηδέν, παίρνουμε το πολυώνυμο p(x) = 0, που εξ ορισμού έχει βαθμό −1. Αυτό το στοιχείο δεν ανήκει σίγουρα σε κανένα W₁.

2. Ως W₂ ας πάρουμε όλα τα πολυώνυμα βαθμού n ή μικρότερου. Για n = 2 το W₂ θα περιέχει λοιπόν όλα τα πολυώνυμα βαθμού 2, 1, 0, −1. Είναι αυτό το σύνολο κλειστό ως προς την πρόσθεση; Ναι, είναι, επειδή το άθροισμα δύο πολυωνύμων βαθμού n δεν θα έχει ποτέ βαθμό μεγαλύτερο από n, μόνο μικρότερο. Το ίδιο ισχύει και για τον πολλαπλασιασμό, επειδή το k-πλάσιο ενός πολυωνύμου p(x) μπορεί να έχει ως αποτέλεσμα είτε πολυώνυμο του ίδιου βαθμού είτε το μηδενικό πολυώνυμο. Και τις δύο περιπτώσεις τις καλύπτει το σύνολο W₂, άρα το W₂ αποτελεί υπόχωρο του χώρου P(X).

Βασικές ιδιότητες των υπόχωρων

Έστω ένας διανυσματικός χώρος V και δύο υπόχωροί του, οι W₁ και W₂. Τότε ισχύει ότι

1. Η τομή W₁ ∩ W₂ είναι υπόχωρος του V.

   Έστω ο διανυσματικός χώρος ℝ³ και υπόχωροι W₁ και W₂ τέτοιοι ώστε ο W₁ να αποτελείται από τριάδες της μορφής (a, b, 0) και ο W₂ από τριάδες της μορφής (a, 0, b), όπου a, b ∈ ℝ. Η τομή W₁ ∩ W₂ θα είναι τότε το σύνολο που περιέχει τις τριάδες της μορφής (a, 0, 0) – ένα τέτοιο σύνολο είναι προφανώς υπόχωρος του ℝ³.

   Αυτό όμως φυσικά δεν είναι απόδειξη. Η απόδειξη θα ήταν η εξής: παίρνουμε έναν οποιονδήποτε διανυσματικό χώρο V και δύο υπόχωρούς του, τους W₁ και W₂. Θέλουμε τώρα να αποδείξουμε ότι για όλα τα x, y ∈ W₁ ∩ W₂ ισχύει x + y ∈ W₁ ∩ W₂.

   Επειδή τα διανύσματα x και y ανήκουν στην τομή W₁ ∩ W₂, πρέπει σίγουρα να ισχύει x, y ∈ W₁ και ταυτόχρονα x, y ∈ W₂ (αυτό ισχύει από τον ορισμό της τομής συνόλων). Επειδή τα W₁ και W₂ είναι ταυτόχρονα διανυσματικοί χώροι, πρέπει να ισχύει και x + y ∈ W₁ και ταυτόχρονα x + y ∈ W₂ (αυτό ισχύει από τον ορισμό των διανυσματικών χώρων). Τώρα όμως έχουμε x + y ∈ W₁ και ταυτόχρονα x + y ∈ W₂, απ' όπου προκύπτει ότι x + y ∈ W₁ ∩ W₂ (πάλι βάσει του ορισμού της τομής συνόλων – αν ένα στοιχείο ανήκει στο σύνολο W₁ και ανήκει και στο σύνολο W₂, πρέπει να ανήκει και στην τομή τους).

   Στη συνέχεια πρέπει να επαληθεύσουμε την κλειστότητα ως προς τον πολλαπλασιασμό. Πρέπει να αποδείξουμε ότι για όλα τα k ∈ ℝ και x ∈ W₁ ∩ W₂ ισχύει k · x ∈ W₁ ∩ W₂. Η διαδικασία είναι η ίδια. Επειδή x ∈ W₁ ∩ W₂, ισχύει ταυτόχρονα x ∈ W₁ και x ∈ W₂. Επειδή τα W₁ και W₂ είναι χώροι, ισχύει k · x ∈ W₁ και ταυτόχρονα k · x ∈ W₂, άρα k · x ∈ W₁ ∩ W₂. □

2. Η ένωση W₁ ∪ W₂ δεν είναι απαραίτητα υπόχωρος του V.

   Για να αποδείξουμε τη δεύτερη ιδιότητα, αρκεί να βρούμε ένα κατάλληλο αντιπαράδειγμα. Μας αρκούν οι προηγούμενοι χώροι W₁ και W₂, που έχουν τριάδες της μορφής (a, b, 0) και (a, 0, b) αντίστοιχα. Αν πάρουμε την ένωσή τους, προκύπτουν όλες οι τριάδες που πρέπει να έχουν μηδέν στη δεύτερη ή στην τρίτη θέση. Τα διανύσματα (1, 0, 1) και (1, 1, 0) ανήκουν λοιπόν σίγουρα στην ένωση W₁ ∪ W₂. Το άθροισμά τους όμως ισούται με το διάνυσμα (2, 1, 1), που δεν έχει πουθενά μηδέν. Αυτό το διάνυσμα δεν ανήκει ούτε στο W₁ ούτε στο W₂, άρα δεν μπορεί να ανήκει ούτε στο W₁ ∪ W₂. Βρήκαμε έτσι δύο διανύσματα, των οποίων το άθροισμα δεν ανήκει στο ίδιο σύνολο, άρα δεν μπορεί να πρόκειται για διανυσματικό χώρο.