Πίνακας αλλαγής βάσης

Αν έχουμε έναν διανυσματικό χώρο V και δύο βάσεις του, μπορούμε να εκφράσουμε ένα διάνυσμα του χώρου ως συνδυασμό διανυσμάτων και των δύο βάσεων. Ο πίνακας αλλαγής βάσης μας βοηθά να μετατρέπουμε τη μία έκφραση στην άλλη.

Κίνητρο

Έστω n-διάστατος διανυσματικός χώρος V και δύο διαφορετικές βάσεις του E = {e₁, …, e_n} και F = {f₁, …, f_n}. Ακόμα, επιλέγουμε ένα διάνυσμα x του V. Επειδή το x ανήκει στον χώρο V και επειδή τόσο η E όσο και η F είναι βάσεις αυτού του χώρου, πρέπει να υπάρχουν συντελεστές a₁, …, a_n τέτοιοι ώστε:

$$\mathbf{x}=a_1\cdot {\mathbf{e}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{e}}_n$$

και ταυτόχρονα πρέπει να υπάρχουν συντελεστές b₁, …, b_n τέτοιοι ώστε:

$$\mathbf{x}=b_1\cdot {\mathbf{f}}_1+\dots +b_n\cdot {\mathbf{f}}_n$$

Στην πρώτη περίπτωση εκφράζουμε το διάνυσμα x με τη βάση E, στη δεύτερη με τη βάση F. Χρησιμοποιούμε δύο διαφορετικές βάσεις για την έκφραση του x, άρα παίρνουμε ταυτόχρονα δύο διαφορετικά σύνολα συντελεστών a_i και b_i. Προκύπτει το ερώτημα: αν ξέρουμε τους συντελεστές b_i, υπάρχει τρόπος να βρούμε από αυτούς τους συντελεστές a_i, δηλαδή την έκφραση ως προς την πρώτη βάση;

Ναι, γι' αυτό χρησιμεύει ο λεγόμενος πίνακας αλλαγής βάσης.

Πώς βρίσκουμε τον πίνακα αλλαγής βάσης

Έχουμε πάλι τον χώρο V και τις δύο βάσεις E = {e₁, …, e_n} και F = {f₁, …, f_n}. Επειδή η E είναι βάση του χώρου V, σίγουρα και όλα τα διανύσματα f₁, …, f_n μπορούν να εκφραστούν ως γραμμικοί συνδυασμοί διανυσμάτων της βάσης E. Τα διανύσματα f₁, …, f_n είναι μεν μέρος της βάσης F, αλλά ταυτόχρονα είναι συνηθισμένα στοιχεία του χώρου V, άρα πρέπει να ισχύει:

$$\begin{array}{rcl}{\mathbf{f}}_1& =& a_{11}\cdot {\mathbf{e}}_1+a_{21}\cdot {\mathbf{e}}_2+\dots +a_{n1}\cdot {\mathbf{e}}_n\\ {\mathbf{f}}_2& =& a_{12}\cdot {\mathbf{e}}_1+a_{22}\cdot {\mathbf{e}}_2+\dots +a_{n2}\cdot {\mathbf{e}}_n\\ & \dots & \\ {\mathbf{f}}_n& =& a_{1n}\cdot {\mathbf{e}}_1+a_{2n}\cdot {\mathbf{e}}_2+\dots +a_{nn}\cdot {\mathbf{e}}_n\end{array}$$

Τώρα γράφουμε αυτές τις εξισώσεις σε πίνακα έτσι ώστε στην πρώτη στήλη του πίνακα να βρίσκονται οι συντελεστές του διανύσματος $\mathbf{f}\mathrm{\_}1$, δηλαδή τα a_i1, στη δεύτερη οι συντελεστές του διανύσματος $\mathbf{f}\mathrm{\_}2$, δηλαδή τα a_i2 κ.ο.κ. Παίρνουμε τον πίνακα:

$$P=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ \dots \\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right)$$

Ένας τέτοιος πίνακας ονομάζεται πίνακας αλλαγής βάσης από τη βάση E στη βάση F. Αν έχουμε διάνυσμα x = (x₁,…, x_n) του V, που ως προς τη βάση F έχει συντελεστές b₁, …, b_n, τότε τους συντελεστές a₁, …, a_n ως προς τη βάση E τους παίρνουμε από

$$\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right)=P\cdot \left(\begin{array}{c}{b}_1\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right)$$

Παράδειγμα

Θα δουλέψουμε στον διανυσματικό χώρο ℝ³. Επιλέγουμε ως πρώτη βάση τη συνήθη βάση E = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} και ως δεύτερη βάση την F = {(2, 0, 0), (3, 2, 0), (1, 5, 4)}. Ο πίνακας αλλαγής βάσης από τη βάση E στη βάση F θα έχει τη μορφή

$$P=\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 1\\ 0& 2& 5\\ 0& 0& 4\end{array}\right)$$

Τώρα επιλέγουμε ένα οποιοδήποτε διάνυσμα x ∈ ℝ³, για παράδειγμα x = (12, 41, 28). Αυτό έχει ως προς τη βάση F συντελεστές b₁ = −2, b₂ = 3, b₃ = 7. Κάνουμε λοιπόν γινόμενο πινάκων:

$$\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 1\\ 0& 2& 5\\ 0& 0& 4\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ 7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12\\ 41\\ 28\end{array}\right)$$

Ως προς τη βάση E το διάνυσμα x έχει συντελεστές a₁ = 12, a₂ = 41, a₃ = 28. Ισχύει λοιπόν:

$$(12,41,28)=12\cdot (1,0,0)+41\cdot (0,1,0)+28\cdot (0,0,1)$$