Αντιμεταθετική ιδιότητα

Η αντιμεταθετική ιδιότητα είναι ιδιότητα πράξεων όπως η πρόσθεση. Μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι στην πρόσθεση δεν έχει σημασία η σειρά, οπότε το 3 + 5 είναι το ίδιο με το 5 + 3. Όποιους δύο πραγματικούς αριθμούς κι αν προσθέσουμε, a + b, το αποτέλεσμα θα είναι το ίδιο, ακόμα κι αν εναλλάξουμε τους προσθετέους: b + a. Αν μια πράξη ικανοποιεί αυτή τη συνθήκη, λέμε ότι είναι αντιμεταθετική.

Ένα ακόμα παράδειγμα αντιμεταθετικής πράξης είναι ο πολλαπλασιασμός, επειδή το 2 · 6 έχει το ίδιο αποτέλεσμα με το 6 · 2 και το ίδιο ισχύει για οποιουσδήποτε δύο αριθμούς a, b:

$$a\cdot b=b\cdot a$$

Παράδειγμα πράξης που δεν είναι αντιμεταθετική είναι η αφαίρεση, επειδή το 7 − 4 είναι κάτι διαφορετικό από το 4 − 7. Στην πρώτη περίπτωση παίρνουμε αποτέλεσμα 3, στη δεύτερη παίρνουμε −3. Ένα άλλο παράδειγμα είναι η διαίρεση, επειδή το 2 / 5 είναι κάτι διαφορετικό από το 5 / 2.

Πρόσεχε όμως και τις άλλες ιδιότητες των πράξεων, για παράδειγμα την προτεραιότητα του πολλαπλασιασμού. Αν έχουμε την παράσταση 1 + 2 · 3, δεν μπορούμε να πούμε ότι είναι το ίδιο με το 2 + 1 · 3. Κι αυτό γιατί ο πολλαπλασιασμός έχει προτεραιότητα έναντι της πρόσθεσης. Μπορούμε να βοηθηθούμε με παρενθέσεις: η παράσταση 1 + 2 · 3 είναι ίδια με την 1 + (2 · 3). Αν θέλουμε να εφαρμόσουμε την αντιμεταθετική ιδιότητα της πρόσθεσης, μπορούμε, αλλά πρέπει να πάρουμε μαζί μας ολόκληρη την παρένθεση: το 1 + (2 · 3) ισούται με το (2 · 3) + 1 και αυτό ισούται με το (3 · 2) + 1, αν εφαρμόσουμε επιπλέον την αντιμεταθετική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού.

Πράξεις συνόλων και αντιμεταθετική ιδιότητα

Αντιμεταθετικές δεν είναι μόνο οι πράξεις με αριθμούς, αλλά και, για παράδειγμα, οι πράξεις με σύνολα. Για παράδειγμα, η τομή των συνόλων A και B είναι αντιμεταθετική πράξη. Τομή δύο συνόλων είναι «τα στοιχεία που βρίσκονται και στα δύο σύνολα», δηλαδή

$$A\cap B=B\cap A$$

Ακριβώς το ίδιο ισχύει και για την ένωση των συνόλων A και B, της οποίας το αποτέλεσμα είναι «τα στοιχεία που βρίσκονται τουλάχιστον σε ένα από τα σύνολα» και άρα:

$$A\cup B=B\cup A$$

Αντιμεταθετική δεν είναι, για παράδειγμα, η διαφορά συνόλων.

Διανύσματα

Μια ακόμα αντιμεταθετική πράξη βρίσκουμε ανάμεσα στις πράξεις με διανύσματα και αυτή είναι η πρόσθεση διανυσμάτων – γενικά, η πρόσθεση είναι συνήθως αντιμεταθετική πράξη. Στην περίπτωση αυτή, αν έχουμε δύο διανύσματα $\overrightarrow{u}$ και $\overrightarrow{v}$, ισχύει ότι

$$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}$$

Γραφικά το παριστάνει το επόμενο σχήμα:

Το άθροισμα $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ παριστάνει η «πάνω διαδρομή», όπου πρώτα εφαρμόζουμε το κόκκινο διάνυσμα $\overrightarrow{u}$ και μετά το μπλε διάνυσμα $\overrightarrow{v}$. Το άθροισμα $\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}$ παριστάνει η «κάτω διαδρομή», όπου πρώτα ακολουθούμε τη διαδρομή του μπλε διανύσματος $\overrightarrow{v}$ και μετά του κόκκινου διανύσματος $\overrightarrow{u}$. Το αποτέλεσμα όμως είναι το ίδιο, τα διανύσματα καταλήγουν στο ίδιο σημείο.

Μπορείς να το φανταστείς σαν να ξεκινούσες από κάποιο μέρος και να περπατούσες πενήντα μέτρα προς βορρά και μετά είκοσι μέτρα προς τα δυτικά. Αν περπατούσες πρώτα είκοσι μέτρα προς τα δυτικά και μετά πενήντα μέτρα προς βορρά, θα κατέληγες στο ίδιο μέρος. Ένας τέτοιος περίπατος είναι λοιπόν αντιμεταθετικός.

Λογική

Στις αντιμεταθετικές πράξεις ανήκουν και οι λογικοί σύνδεσμοι «και» (σύζευξη) και «ή» (διάζευξη). Αυτό σημαίνει ότι η πρόταση «ο αριθμός 5 είναι περιττός και πρώτος» έχει την ίδια τιμή αλήθειας με την πρόταση «ο αριθμός 5 είναι πρώτος και περιττός». Παρόμοια για τη διάζευξη: η πρόταση «ο αριθμός 6 είναι πρώτος ή άρτιος» έχει την ίδια τιμή αλήθειας με την πρόταση «ο αριθμός 6 είναι άρτιος ή πρώτος».

Αντιμεταθετική όμως δεν είναι η συνεπαγωγή, δηλαδή η πρόταση «αν κερδίσω στο Λόττο, τότε θα γίνω πλούσιος» δεν είναι το ίδιο με το «αν γίνω πλούσιος, τότε θα κερδίσω στο Λόττο».