Αλγεβρικοί αριθμοί

Έναν αριθμό που είναι ρίζα κάποιου πολυωνύμου με ακέραιους συντελεστές τον λέμε αλγεβρικό αριθμό. Τι σημαίνει αυτό στην πράξη; Μπορούμε να πάρουμε οποιονδήποτε αριθμό και να παίξουμε μαζί του ένα μαθηματικό παιχνίδι. Στόχος του παιχνιδιού είναι να πάρουμε έναν αριθμό x και να τον ανάγουμε στο μηδέν, χρησιμοποιώντας όμως μόνο τις πράξεις της πρόσθεσης, της αφαίρεσης, του πολλαπλασιασμού και των δυνάμεων και χρησιμοποιώντας στους μετασχηματισμούς μόνο ακέραιους αριθμούς. Με παραδείγματα θα γίνει πιο σαφές.

Ξεκινάμε με τον αριθμό 42. Πώς θα τον μετασχηματίσουμε ώστε να πάρουμε μηδέν; Μπορούμε να αφαιρέσουμε από αυτόν τον ακέραιο 42 και να πάρουμε μηδέν (ο πολλαπλασιασμός με το μηδέν δεν επιτρέπεται):

$42 - 42 = 0$

Επειδή καταφέραμε να ανάγουμε τον αριθμό 42 στο μηδέν, ο αριθμός 42 είναι αλγεβρικός. Αυτό ήταν αρκετά τετριμμένο. Τι θα γίνει με ένα κλάσμα, ας πούμε το $\frac{7}{3}$ ; Επειδή μπορούμε να δουλεύουμε μόνο με ακέραιους, δεν μπορούμε να αφαιρέσουμε από αυτό το κλάσμα το $\frac{7}{3}$ ώστε να πάρουμε μηδέν. Πρέπει να τα καταφέρουμε αλλιώς. Πρώτα πολλαπλασιάζουμε το κλάσμα με το τρία:

$3 \cdot \frac{7}{3} = \frac{3 \cdot 7}{3} = 7$

Πήραμε έναν ακέραιο και αυτόν ξέρουμε να τον μετατρέψουμε σε μηδέν: αφαιρούμε το επτά. Μπορούμε λοιπόν να γράψουμε

$3 \cdot \frac{7}{3} - 7 = 0$

και μπορούμε να πούμε ότι και το κλάσμα επτά τρίτα είναι αλγεβρικός αριθμός. Ας πάρουμε έναν ακόμη πιο περίπλοκο αριθμό, την τετραγωνική ρίζα του δύο: $\sqrt{2}$ . Κανένας πολλαπλασιασμός ή πρόσθεση δεν θα μας βοηθήσει, πρέπει πρώτα να απαλλαγούμε από τη ρίζα. Υψώνουμε την παράσταση στο τετράγωνο:

${(\sqrt{2})}^{2} = 2$

Πήραμε έναν ακέραιο, που ξέρουμε να τον μετατρέψουμε σε μηδέν, αφαιρούμε το δύο:

${(\sqrt{2})}^{2} - 2 = 0$

Και η τετραγωνική ρίζα του δύο, που είναι άρρητος αριθμός, είναι αλγεβρικός αριθμός. Μέχρι στιγμής φαίνεται ότι κάθε αριθμός που δοκιμάζουμε είναι αλγεβρικός. Τι γίνεται, για παράδειγμα, με τον αριθμό e του Euler; Κι αυτός είναι άρρητος, άρα έχει άπειρο δεκαδικό ανάπτυγμα χωρίς επανάληψη, όπως η τετραγωνική ρίζα του δύο. Η προσεγγιστική τιμή του είναι 2,71. Αντίθετα όμως με την τετραγωνική ρίζα του δύο, δεν υπάρχει τρόπος να τον ανάγουμε στο μηδέν με τις πράξεις που επιτρέψαμε. Ό,τι κι αν προσθέσουμε στον αριθμό του Euler, με ό,τι κι αν τον πολλαπλασιάσουμε ή σε όποια δύναμη κι αν τον υψώσουμε, παίρνουμε πάντα έναν ακόμη άρρητο αριθμό. Ο αριθμός του Euler λοιπόν δεν είναι αλγεβρικός αριθμός, ζήτω!

Ομοίως δεν είναι αλγεβρικός αριθμός ο αριθμός π (3,14).

Τους αριθμούς που δεν είναι αλγεβρικοί τους λέμε υπερβατικούς.

Ακριβέστερος ορισμός

Για κάθε αλγεβρικό αριθμό πρέπει λοιπόν να υπάρχει πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές, του οποίου ρίζα είναι ακριβώς αυτός ο αλγεβρικός αριθμός. Ρίζα πολυωνύμου είναι ο αριθμός για τον οποίο το πολυώνυμο ισούται με μηδέν. Αν γυρίσουμε στα παραδείγματα παραπάνω, για τον αριθμό 42 θα παίρναμε την εξίσωση

$x - 42 = 0$

και επειδή ρίζα του πολυωνύμου x − 42 είναι ακριβώς το x = 42, αυτό σημαίνει ότι ο 42 είναι αλγεβρικός αριθμός. Για τον ρητό αριθμό $\frac{7}{3}$ θα ήταν η εξίσωση

$3 x - 7 = 0$

επειδή ρίζα του πολυωνύμου 3x − 7 είναι ακριβώς το $x = \frac{7}{3}$ . Και τέλος, για την τετραγωνική ρίζα του δύο θα παίρναμε

$x^{2} - 2 = 0$

επειδή ρίζα του πολυωνύμου x² − 2 είναι ακριβώς η τετραγωνική ρίζα του δύο. Για τον αριθμό του Euler ή για το π δεν μπορούμε να σχηματίσουμε καμία τέτοια εξίσωση ή πολυώνυμο, επειδή πρόκειται για υπερβατικούς αριθμούς και όχι για αλγεβρικούς.

Παραδείγματα αλγεβρικών αριθμών

Κάθε ακέραιος αριθμός είναι και αλγεβρικός.
Κάθε ρητός αριθμός (κλάσμα) είναι αλγεβρικός.
Οι άρρητοι αριθμοί είναι πιο περίπλοκοι. Όπως είδαμε, κάποιοι άρρητοι αριθμοί είναι αλγεβρικοί, όπως η τετραγωνική ρίζα του δύο, αλλά κάποιοι δεν είναι, όπως ο αριθμός του Euler.
Κάθε ν-οστή ρίζα ενός ακεραίου είναι αλγεβρικός αριθμός.
Η χρυσή τομή είναι αλγεβρικός αριθμός.

Σύνδεσμοι και πηγές

« Προηγούμενο: Πραγματικοί αριθμοί

Επόμενο: Μιγαδικοί αριθμοί »