Άπειρο

Το άπειρο είναι μια αφηρημένη έννοια, που στην ουσία δεν μπορούμε ούτε να τη φανταστούμε. Το ίδιο το άπειρο δεν έχει κανένα τέλος, από εκεί προέρχεται και το όνομά του, αλλά το γενικό άπειρο δεν έχει ούτε αρχή (μπορούμε όμως να το προσδιορίσουμε περισσότερο, για παράδειγμα η ημιευθεία είναι επίσης άπειρη, αλλά έχει αρχή). Το άπειρο συνήθως γράφεται με το λεγόμενο «πλαγιασμένο οκτώ» – ∞.

Υπολογίζουμε με το άπειρο

Το άπειρο μοιάζει εν μέρει με το μηδέν, που κι αυτό είναι από πολλές απόψεις ιδιαίτερο και ισχύουν γι' αυτό ιδιαίτεροι κανόνες. Για παράδειγμα δεν μπορείς να διαιρέσεις με το μηδέν, αυτό το ξέρει κάθε μικρό παιδί (παρεμπιπτόντως, ξέρεις αυτό το αστείο; Ποια είναι η καλύτερη δικαιολογία όταν δεν έχεις κάνει την εργασία στα μαθηματικά; «Κυρία, κατά λάθος άρχισα να διαιρώ με το μηδέν και κάηκε το τετράδιό μου…» ;o)).

Όπως οτιδήποτε επί μηδέν κάνει μηδέν, ισχύει και ότι οτιδήποτε επί άπειρο ή οτιδήποτε συν άπειρο κάνει άπειρο. Αν από το άπειρο αφαιρέσεις οσοδήποτε μεγάλο αριθμό, θα σου μένει πάντα άπειρο. Το ίδιο και αν προσπαθήσεις να διαιρέσεις το άπειρο. Το άπειρο είναι απλώς τόσο μεγάλο που ακόμη κι αν του αφαιρείς κάθε δευτερόλεπτο εκατομμύρια, πάντα θα σου μένει άπειρο. Κάποιες φορές αυτό είναι λίγο δύσκολο να το καταλάβεις, για παράδειγμα ας έχουμε αυτή την εξισωσούλα: ∞ + 1 = ∞. Ισχύει ή δεν ισχύει;

Η λογική μάς λέει ότι το αριστερό μέλος της εξίσωσης είναι μεγαλύτερο, αφού αν στο άπειρο προσθέσω ένα, ολόκληρη η παράσταση πρέπει να είναι μεγαλύτερη από το απλό άπειρο. Όχι απαραίτητα :-). Όπως είπα ήδη, άπειρο συν οτιδήποτε είναι άπειρο. Δηλαδή άπειρο συν ένα είναι άπειρο και το άπειρο ισούται με το άπειρο. Η εξίσωση ισχύει.

Μπορούμε να βρούμε και άλλον δρόμο, μέσω των ορίων. Ας έχουμε τώρα το κλάσμα 1/x και ας υπολογίσουμε το όριο από δεξιά για x→0⁺ και ας υποθέσουμε ότι δεν μας κάηκε το τετράδιο. Ένα τέτοιο όριο θα ήταν ίσο με το άπειρο. Αν σε αυτή την παράσταση προσθέσεις το ένα, θα έχεις την παράσταση (1+x)/x και το όριο για x→0⁺ θα ήταν πάλι άπειρο.

Η διασκέδαση αρχίζει όταν αρχίσουμε να συνδυάζουμε περισσότερα άπειρα. Για παράδειγμα, σε τι ισούται η παράσταση άπειρο μείον άπειρο; Η λογική μάς λέει ότι αφαιρούμε μεταξύ τους δύο ίσους αριθμούς, άρα το αποτέλεσμα θα είναι μηδέν. Είπα επίσης ότι αν από το άπειρο αφαιρέσουμε οποιονδήποτε αριθμό, το αποτέλεσμα θα είναι πάλι άπειρο. Αντίθετα, αν από οποιονδήποτε αριθμό αφαιρέσουμε το άπειρο, θα βγει μείον άπειρο. Πώς ξεμπλέκουμε λοιπόν; Όλα τα αποτελέσματα είναι θεωρητικά δυνατά. Τα μαθηματικά λένε ότι η παράσταση ∞ −∞ δεν ισούται με τίποτα συγκεκριμένο, είναι απροσδιόριστη μορφή. Είναι παρόμοιο παράδειγμα με το να προσπαθείς να διαιρέσεις με το μηδέν, απλώς δεν έχει νόημα. Αν συναντήσεις μια τέτοια απροσδιόριστη μορφή, πρέπει με κάποιον τρόπο να μετασχηματίσεις την παράσταση (σε ορισμένα είδη απροσδιόριστων μορφών μπορείς να χρησιμοποιήσεις για παράδειγμα τον κανόνα de l’Hospital [διαβάζεται «λοπιτάλ»]).

Άλλες απροσδιόριστες μορφές:

• ∞ − ∞
• ∞/∞
• 0/0
• 0 · ∞
• 0⁰
• ∞⁰
• 1^∞

Παρεμπιπτόντως ισχύουν οι βασικές πράξεις με τα πρόσημα, για παράδειγμα το −1 · ∞ ισούται με μείον άπειρο.

Θέλεις να τρελαθείς;

Τότε καταπιάσου με τη θεωρία συνόλων και υπολόγισε ποιο σύνολο είναι μεγαλύτερο. Για παράδειγμα, είναι μεγαλύτερο το σύνολο των άρτιων ή των περιττών αριθμών; Των άρτιων ή των φυσικών; Των φυσικών ή των ακεραίων; Των άρτιων ή των ακεραίων; Των φυσικών ή των ρητών; Η απάντηση είναι ότι όλα είναι το ίδιο μεγάλα. Όσο παράξενο κι αν φαίνεται (οι ακέραιοι πρέπει να είναι περισσότεροι από τους περιττούς), είναι σύνολα ίδιου μεγέθους. Αντίθετα, το σύνολο των πραγματικών αριθμών είναι μεγαλύτερο από τα προαναφερθέντα σύνολα. Ο διάολος να τα καταλάβει ;-)