Ρητοί αριθμοί

Ρητοί αριθμοί είναι όλοι οι αριθμοί που μπορούμε να γράψουμε ως πηλίκο δύο ακεραίων, δηλαδή με τη μορφή κλάσματος.

Ορισμός

Ρητοί αριθμοί είναι λοιπόν όλοι οι αριθμοί που μπορούμε να γράψουμε με τη μορφή

$$\frac{a}{b}a,b\in \mathbb{Z},b\ne 0.$$

Η συνθήκη ότι και οι δύο αριθμοί είναι ακέραιοι έχει προφανή σημασία: αν διάλεγες έναν αριθμό που δεν είναι ρητός, για παράδειγμα το π, και σχημάτιζες ένα κλάσμα ως εξής:

$$\frac{\pi }{1},$$

θα έπαιρνες πίσω τον αριθμό π, που δεν είναι ρητός. Γι' αυτό ο παρονομαστής και ο αριθμητής πρέπει να είναι ακέραιοι. Και επειδή δεν επιτρέπεται να διαιρούμε με το μηδέν, ο παρονομαστής πρέπει να είναι διαφορετικός από το μηδέν.

Μπορούμε επίσης να πούμε ότι ρητοί αριθμοί είναι οι αριθμοί με πεπερασμένο δεκαδικό ανάπτυγμα και οι αριθμοί με άπειρο δεκαδικό ανάπτυγμα, στο οποίο κάποιο μέρος επαναλαμβάνεται περιοδικά. Παραδείγματα ρητών αριθμών, πρώτα με τη μορφή κλάσματος:

$$\frac{1}{3},-\frac{5}{9},\frac{13}{29},\frac{4}{1},\dots$$

και στη συνέχεια με τη μορφή δεκαδικού αριθμού: 0,1 · −5 · 14,5 · −12,93 · 0,33333…=$0,\bar{3}$

Περιοδικός συμβολισμός

Στο προηγούμενο παράδειγμα είχαμε τον αριθμό 0,3333… Πρόκειται για τη δεκαδική παράσταση του κλάσματος 1/3 και είναι αριθμός με άπειρο δεκαδικό ανάπτυγμα. Παρ' όλα αυτά είναι ρητός, επειδή το ανάπτυγμα είναι περιοδικό. Περιοδικό ανάπτυγμα σημαίνει ότι από κάποιο σημείο του αριθμού και μετά επαναλαμβάνεται συνεχώς η ίδια ακολουθία ψηφίων. Στην περίπτωσή μας επαναλαμβανόταν επ' άπειρον το τρία. Μπορεί όμως να επαναλαμβάνεται επ' άπειρον και, για παράδειγμα, η ακολουθία ψηφίων 12345 και πάλι θα είναι αριθμός με περίοδο, ρητός αριθμός.

Άρα κάθε αριθμός με πεπερασμένο δεκαδικό ανάπτυγμα είναι ρητός. Κάθε αριθμός με άπειρο δεκαδικό ανάπτυγμα, στο οποίο κάποιο μέρος επαναλαμβάνεται περιοδικά, είναι επίσης ρητός. Ένας αριθμός με άπειρο δεκαδικό ανάπτυγμα, στο οποίο κανένα μέρος δεν επαναλαμβάνεται περιοδικά, είναι άρρητος.

Η περίοδος σημειώνεται είτε με τρεις τελείες είτε, πιο συχνά, με μια γραμμή πάνω από τα ψηφία που επαναλαμβάνονται περιοδικά. Περιοδικά μπορεί να επαναλαμβάνεται ένα ψηφίο, αλλά και πολλά. Η περίοδος μπορεί να αρχίζει αμέσως στην αρχή του δεκαδικού μέρους ή οποιαδήποτε στιγμή αργότερα. Όλοι αυτοί είναι περιοδικοί αριθμοί:

$$\begin{array}{rclcl}7/3& =& \mathrm{2,333}33\dots & =& 2,\bar{3}\\ 16/11& =& \mathrm{1,454}545\dots & =& 1,\overline{45}\\ 11/6& =& \mathrm{1,833}333\dots & =& 1,8\bar{3}\end{array}$$

Συμβολισμός και σημασία

Τους ρητούς αριθμούς τους συμβολίζουμε με το γράμμα Q με διπλά τόξα: ℚ. Προέρχεται από το αγγλικό «quotient», δηλαδή το πηλίκο, που είναι το αποτέλεσμα της διαίρεσης.

Οι ρητοί αριθμοί χρησιμοποιούνται για να προσδιορίσουμε ένα μέρος του όλου. Χαρακτηριστικά, για παράδειγμα, «το μισό» ή «το ένα δέκατο». Αυτά είναι ονομασίες ενός μέρους του όλου, που στους ρητούς αριθμούς μπορεί να εκφραστεί ως πηλίκο 1/2 και 1/10. Σε αυτές τις περιπτώσεις ο παρονομαστής δείχνει το όλο και ο αριθμητής το μέρος του όλου. Αν ο αριθμητής ισούται με τον παρονομαστή, τότε έχουμε ολόκληρο το όλο. Αυτά τα μέρη συνήθως μετατρέπονται σε ποσοστά.

Ιδιότητες

1. Οι ρητοί αριθμοί αποτελούν ένα άπειρο αριθμήσιμο σύνολο.

• Οι ρητοί αριθμοί είναι κλειστοί ως προς την πρόσθεση, την αφαίρεση, τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση. Αυτό σημαίνει ότι όταν διαιρέσουμε δύο ρητούς αριθμούς, παίρνουμε πάλι ρητό αριθμό. Αυτή είναι μια αλλαγή σε σχέση με τους ακέραιους αριθμούς, που δεν ήταν κλειστοί ως προς τη διαίρεση.
• Οι ρητοί αριθμοί περιέχουν όλους τους ακέραιους. Αν όλοι οι ρητοί αριθμοί γράφονται ως κλάσμα a/b, αρκεί να είναι b = 1 και μετά τη διαίρεση a/1 = a παίρνουμε πάντα πίσω την τιμή του αριθμητή.
• Αν πάρουμε δύο ρητούς αριθμούς a και b για τους οποίους ισχύει a < b, θα βρούμε πάντα έναν ακόμη ρητό αριθμό q για τον οποίο ισχύει: a < q < b. Με άλλα λόγια, ανάμεσα σε οποιουσδήποτε δύο ρητούς αριθμούς μπορούμε πάντα να βρούμε κάποιον ακόμη ρητό αριθμό. Ισχύει και μια ισχυρότερη εκδοχή: ανάμεσα σε οποιουσδήποτε δύο ρητούς αριθμούς υπάρχουν άπειροι άλλοι ρητοί αριθμοί.
• Συνέπεια της προηγούμενης πρότασης είναι ότι δεν υπάρχει ελάχιστος θετικός (ή μέγιστος αρνητικός) ρητός αριθμός. Μπορούμε να το αποδείξουμε με απαγωγή σε άτοπο. Έστω m ο ελάχιστος θετικός ρητός αριθμός. Τότε δεν θα μπορούσαμε να βρούμε μικρότερο θετικό ρητό αριθμό. Σύμφωνα όμως με την προηγούμενη πρόταση ισχύει 0 < m και επομένως υπάρχει ρητός αριθμός s για τον οποίο 0 < s < m. Βρήκαμε έναν αριθμό s που είναι μεγαλύτερος από το μηδέν (είναι θετικός) και μικρότερος από τον αριθμό m. Αυτό είναι άτοπο, αφού ο m είναι ο ελάχιστος θετικός ρητός αριθμός.

Πράξεις με ρητούς αριθμούς

Όλες οι συνήθεις και βασικές πράξεις περιγράφονται στο άρθρο κλάσματα.

Μετατροπή περιοδικού αριθμού σε κλάσμα

Επειδή ο περιοδικός αριθμός είναι ταυτόχρονα ρητός αριθμός, πρέπει να μπορεί να μετατραπεί σε κλάσμα. Θα δούμε τη διαδικασία. Στην αρχή έστω ο περιοδικός αριθμός a = 0,333… Γράφουμε

$$a=0,\bar{3}$$

Τώρα θα κάνουμε τους κλασικούς ισοδύναμους μετασχηματισμούς εξισώσεων και θα πολλαπλασιάσουμε ολόκληρη την εξίσωση με το δέκα:

$$10a=3,\bar{3}$$

Στο δεξί μέλος το τρία πέρασε στις μονάδες και μετά την υποδιαστολή έμειναν πάλι άπειρα τρία. Τώρα από την εξίσωση αφαιρούμε το a, δηλαδή αφαιρούμε το 0,333…, και έτσι απαλλασσόμαστε από το άπειρο ανάπτυγμα.

$$9a=3$$

Αυτό το βήμα ίσως ήταν λίγο περίπλοκο, γι' αυτό θα το αναλύσω. Κάναμε την εξής πράξη:

$$\begin{array}{ccccccc}& 3& ,& 3& 3& 3& \dots \\ -& 0& ,& 3& 3& 3& \dots \\ =& 3& ,& 0& 0& 0& \dots \end{array}$$

Την πάνω εξίσωση 9a = 3 τη διαιρούμε απλώς με το εννέα και παίρνουμε το αποτέλεσμα:

$$a=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$$

Ας δοκιμάσουμε ακόμη ένα παράδειγμα:

$$a=\mathrm{1,454}545\dots =1,\overline{45}$$

Η διαδικασία θα διαφέρει ελαφρά. Στο προηγούμενο παράδειγμα είχαμε περίοδο μήκους ένα. Για την ακρίβεια, η περίοδος θα μπορούσε να έχει όποιο μήκος θέλαμε, αφού επαναλαμβανόταν διαρκώς η ίδια ακολουθία, αλλά μας βόλευε να έχει μήκος ένα. Τώρα έχουμε περίοδο μήκους δύο. Πάλι θα μπορούσαμε να πάρουμε περίοδο μήκους έξι, αλλά δεν μας βολεύει. Για να αφαιρέσουμε πράγματι ολόκληρη την περίοδο, πρέπει αυτή τη φορά να πολλαπλασιάσουμε με το εκατό:

$$100a=145,\overline{45}$$

Αφαιρούμε ένα a:

$$99a=144$$

Και διαιρούμε με το 99:

$$a=\frac{144}{99}=\frac{16}{11}$$

Αν δοκιμάσεις να διαιρέσεις αυτούς τους αριθμούς με υπολογιστή τσέπης, θα βγει ακριβώς 1,454545… Οι περισσότεροι υπολογιστές τσέπης όμως στρογγυλοποιούν, οπότε μπορεί να σου δείξουν ένα ελαφρώς διαφορετικό αποτέλεσμα.

Μια περιέργεια με το 0,9999…

Για λόγους περιέργειας ας δοκιμάσουμε ακόμη να μετατρέψουμε σε κλάσμα τον περιοδικό αριθμό

$$a=0,\bar{9}$$

Πολλαπλασιάζουμε με το δέκα:

$$10a=9,\bar{9}$$

Αφαιρούμε το a:

$$9a=9$$

Διαιρούμε με το εννέα:

$$a=1$$

Βλέπουμε ότι βγήκε ένα, δηλαδή ισχύει ότι ο αριθμός 0,999… ισούται με τον αριθμό 1.

Σύνδεσμοι

• Βικιπαίδεια