Πραγματικοί αριθμοί
Πραγματικοί αριθμοί είναι όλοι οι αριθμοί που μπορούμε να γράψουμε με πεπερασμένο ή άπειρο δεκαδικό ανάπτυγμα. Μπορούμε να πούμε ότι τους πραγματικούς αριθμούς τους παίρνουμε με την ένωση του συνόλου των ρητών και των άρρητων αριθμών.
Συμβολισμός και σημασία
Τους πραγματικούς αριθμούς τους συμβολίζουμε με το γράμμα R, συνήθως με διπλή την κάθετη γραμμή: ℝ.
Αν φανταστείς έναν άπειρο άξονα αριθμών, οι πραγματικοί αριθμοί αντιπροσωπεύουν όλες τις δυνατές αποστάσεις ανάμεσα σε δύο σημεία που μπορούμε να βρούμε πάνω στον άξονα.
Οι πραγματικοί αριθμοί περιέχουν όλους τους φυσικούς αριθμούς, τους ακέραιους, τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς.
Οι περισσότερες συναρτήσεις με τις οποίες δουλεύουμε συνήθως στα μαθηματικά έχουν ως πεδίο ορισμού ακριβώς το σύνολο των πραγματικών αριθμών (για παράδειγμα το ημίτονο και το συνημίτονο, η γραμμική συνάρτηση) ή κάποιο συνεχές υποσύνολό του (για παράδειγμα ο λογάριθμος).
Παραδείγματα πραγματικών αριθμών: 1, −3, 0,126, −42,47, e, 0, −2π.
Ιδιότητες
- Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούν ένα άπειρο υπεραριθμήσιμο σύνολο.
- Οι πραγματικοί αριθμοί είναι κλειστοί ως προς την πρόσθεση, την αφαίρεση, τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση. Αν πάρουμε δύο πραγματικούς αριθμούς και τους πολλαπλασιάσουμε, παίρνουμε πάλι πραγματικό αριθμό.
- Ένας πραγματικός αριθμός είναι είτε αλγεβρικός, δηλαδή ρίζα κάποιου πολυωνύμου με ακέραιους συντελεστές, είτε υπερβατικός, δηλαδή δεν είναι ρίζα κανενός τέτοιου πολυωνύμου.
- Για κάθε πραγματικό αριθμό υπάρχει η απόλυτη τιμή του, που αντιπροσωπεύει την απόσταση από την αρχή του άξονα των αριθμών.
- Κάθε μη αρνητικός πραγματικός αριθμός έχει τετραγωνική ρίζα, που είναι επίσης πραγματικός αριθμός. Αντίθετα, κανένας αρνητικός πραγματικός αριθμός δεν έχει ως τετραγωνική ρίζα πραγματικό αριθμό.
