Διάστημα

Τα διαστήματα χρησιμοποιούνται πολύ στα μαθηματικά και περιέχονται σε αμέτρητους ορισμούς. Διάστημα είναι ένα σύνολο σημείων που περιορίζεται από δύο άκρα. Επιπλέον, διακρίνουμε ανοικτά και κλειστά διαστήματα.

Βασική περιγραφή

Τα διαστήματα τα χρησιμοποιούμε και στην καθημερινή γλώσσα, για παράδειγμα «για το λάθος χρώμα των ματιών σου μπορείς να πάρεις από την Ευρωπαϊκή Ένωση πρόστιμο από 400 έως 800 ευρώ». Στο παράδειγμα χρησιμοποιείται η έκφραση «από … έως», αλλά μαθηματικά μιλώντας πρόκειται για διάστημα. Εδώ όμως προκύπτουν ύπουλα ερωτήματα: μπορείς να πάρεις πρόστιμο ακριβώς 400 ευρώ ή η οριακή τιμή δεν υπολογίζεται; Πόσο λεπτομερώς μπορεί να οριστεί το πρόστιμο; Μπορεί να είναι 741,68 ευρώ; Ή μπορεί να κυμαίνεται για παράδειγμα μόνο ανά εκατοντάδες; Δηλαδή είτε 700 είτε 800;

Όλα αυτά τα λύνει η μαθηματική γραφή. Σε αυτήν πρέπει να πούμε δύο ουσιώδεις πράγματα: σε ποιο σύνολο κινούμαστε (στο πλαίσιο του παραδείγματος – εκατοντάδες; Χιλιάδες; Μονάδες ευρώ;) και αν στο διάστημα ανήκουν και τα άκρα (μπορώ να πάρω πρόστιμο ακριβώς 400 ή 800 ευρώ;).

Τα καλά νέα είναι ότι στη συντριπτική πλειονότητα των περιπτώσεων στα μαθηματικά θέλουμε το διάστημα να δουλεύει με το σύνολο των πραγματικών αριθμών, οπότε αν συναντήσεις διάστημα χωρίς προσδιορισμό του συνόλου, πρόκειται σίγουρα για πραγματικούς αριθμούς.

Το βασικό σύνολο το έχουμε, τώρα πώς να σημειώσουμε αν θέλουμε να λάβουμε υπόψη τα άκρα; Τα διαστήματα γράφονται με παρενθέσεις. Η στρογγυλή παρένθεση δείχνει ότι το συγκεκριμένο άκρο δεν ανήκει στο διάστημα, ενώ η αγκύλη δείχνει ότι το άκρο ανήκει. Αυτό το λέμε ανοικτότητα και κλειστότητα. Αν το άκρο ανήκει στο διάστημα, το διάστημα είναι κλειστό, αν δεν ανήκει, είναι ανοικτό.

Παραδείγματα

Ακολουθούν παραδείγματα (όλα στο σύνολο των πραγματικών αριθμών, εκτός αν αναφέρεται κάτι άλλο):

• [1, 2]   Κλειστό διάστημα από το ένα έως το δύο. Στο διάστημα ανήκουν όλοι οι πραγματικοί αριθμοί ανάμεσα στο ένα και το δύο, μαζί με το ένα και το δύο.
• (1, 2)   Ανοικτό διάστημα από το ένα έως το δύο. Στο διάστημα ανήκουν όλοι οι πραγματικοί αριθμοί ανάμεσα στο ένα και το δύο, αλλά οι ίδιοι οι αριθμοί ένα και δύο δεν ανήκουν.
• [0, 1)   Το διάστημα είναι κλειστό αριστερά και ανοικτό δεξιά. Στο διάστημα ανήκουν όλοι οι αριθμοί ανάμεσα στο μηδέν και το ένα, μαζί με το ίδιο το μηδέν, αλλά το ένα δεν ανήκει στο διάστημα.
• (α, β]   Το διάστημα είναι ανοικτό αριστερά και κλειστό δεξιά. Στο διάστημα ανήκουν όλοι οι αριθμοί ανάμεσα στους αριθμούς α και β, μαζί με τον αριθμό β, αλλά εκτός από τον αριθμό α.
• [0, +∞)   Κλειστό αριστερά και ανοικτό δεξιά διάστημα. Αν έχεις στο διάστημα το άπειρο, χρησιμοποίησε από την αντίστοιχη πλευρά ανοικτό διάστημα – το άπειρο δεν έχει κάποιο πεπερασμένο άκρο, κλειστό διάστημα εκεί δεν έχει νόημα.
• [1, 5] ⊂ ℕ^∗   Εδώ ακολουθεί μια αλλαγή, δεν δουλεύουμε με το σύνολο των πραγματικών αριθμών, αλλά με το σύνολο των φυσικών αριθμών. Έχουμε κλειστό διάστημα και από τις δύο πλευρές και στο συγκεκριμένο διάστημα υπάρχουν συνολικά πέντε αριθμοί: 1, 2, 3, 4 και 5.
• (1, 5] ⊂ ℕ^∗   Η ίδια περίπτωση όπως προηγουμένως, μόνο που το διάστημα είναι ανοικτό αριστερά και έτσι το ένα δεν ανήκει στο διάστημα, και η απαρίθμηση όλων των στοιχείων του διαστήματος είναι: 2, 3, 4 και 5.

Το διάστημα ως σύνολο

Όπως φαίνεται, το διάστημα δεν είναι τίποτε άλλο από υποσύνολο του συνόλου πάνω στο οποίο ορίζεται. Γι' αυτό μπορούμε να δουλεύουμε με τα διαστήματα ως σύνολα και να κάνουμε μαζί τους πράξεις συνόλων. Για παράδειγμα η ένωση θα μπορούσε να μοιάζει ως εξής:

$$[0,5]\cup [5,10]=[0,10]$$

Πρόσεξε στα ανοικτά διαστήματα, εκεί η ισότητα δεν θα ίσχυε, επειδή το πέντε δεν ανήκει στο διάστημα που προκύπτει:

$$(0,5)\cup (5,10)\ne (0,10)$$

Σωστά θα μπορούσε να γραφτεί για παράδειγμα έτσι:

$$(0,5)\cup (5,10)=(0,10)-\{5\}$$

Πότε χρησιμοποιούμε ανοικτό διάστημα

Τη διαφορά ανάμεσα στο ανοικτό και το κλειστό διάστημα είναι απαραίτητο να την καταλάβεις. Συχνή περίπτωση χρήσης ανοικτού διαστήματος είναι για παράδειγμα το πεδίο ορισμού του λογαρίθμου. Τον λογάριθμο μπορούμε να τον χρησιμοποιήσουμε με οποιονδήποτε θετικό πραγματικό αριθμό, που σημαίνει ότι δεν μπορούμε να τον καλέσουμε με αρνητικό αριθμό, αλλά ούτε και με το μηδέν. Πώς το γράφουμε;

$$D_{\ln }=(0,+\mathrm{\infty })$$

Αυτή η γραφή λέει ότι τον λογάριθμο μπορούμε να τον καλέσουμε με οσοδήποτε μικρό θετικό αριθμό, αλλά δεν επιτρέπεται να τον καλέσουμε με το μηδέν. Έτσι για παράδειγμα ο αριθμός 1 ανήκει στο διάστημα, και ο 0,001 επίσης, το ίδιο και ο 0,0000000001 ή ο 10⁻⁶⁶⁶. Αλλά το μηδέν πια δεν ανήκει στο διάστημα. Παρόμοια θα μπορούσαμε να γράψουμε το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης με κλάσμα, για παράδειγμα της απλής f(x) = 1/x.

$$D_f=(-\mathrm{\infty },0)\cup (0,+\mathrm{\infty })$$

Αυτό μας ορίζει το σύνολο των πραγματικών αριθμών χωρίς το μηδέν. Σε κανένα από τα δύο διαστήματα το μηδέν δεν βρίσκεται στη θέση κλειστού άκρου, γι' αυτό ούτε στην τελική ένωση θα υπάρχει το μηδέν. Μπορούμε πάντως να χρησιμοποιήσουμε οσοδήποτε μικρό θετικό αριθμό ή οσοδήποτε μεγάλο αρνητικό αριθμό (στους αρνητικούς αριθμούς ισχύει ότι το -0,001 είναι μεγαλύτερο από το -0,1, γι' αυτό λέμε οσοδήποτε μεγάλο αριθμό και όχι οσοδήποτε μικρό αριθμό).

Γεωμετρική ερμηνεία

Τα διαστήματα συνήθως τα παριστάνουμε στον άξονα των πραγματικών αριθμών ως ευθύγραμμα τμήματα, και τα άκρα τα επιλέγουμε ανάλογα με το αν το διάστημα είναι κλειστό ή ανοικτό. Αν το διάστημα είναι κλειστό, η κουκκίδα που παριστάνει το σημείο θα είναι γεμάτη, αν είναι ανοικτό, θα είναι κενή, θα είναι μόνο περίγραμμα, μόνο κύκλος.

Το επόμενο σχήμα παριστάνει τρία διαστήματα, όλα από το δύο έως το έξι, που όμως διαφέρουν ως προς την κλειστότητα των άκρων. Με τη σειρά θα απεικονίζονται αυτά τα διαστήματα: [2, 6], (2, 6], (2, 6).