Από πού προέκυψε ο αριθμός e

Ο αριθμός του Euler είναι μία από τις πιο γνωστές μαθηματικές σταθερές, μαζί με τον αριθμό π – π. Θα δούμε πώς φτάσαμε σε αυτόν τον αριθμό και τι σημαίνει.

Τον δέκατο έβδομο αιώνα ο Ελβετός μαθηματικός Jacob Bernoulli ασχολήθηκε με τον ανατοκισμό. Ας φανταστούμε ότι έχουμε ένα ευρώ, το οποίο καταθέτουμε σε μια τράπεζα που μας προσφέρει ετήσιο επιτόκιο 100%. Από μέρους της τράπεζας είναι καθαρή τρέλα, αλλά τι δεν θα έκανε για το καλό των μαθηματικών. Πόσα χρήματα θα έχουμε στον λογαριασμό ακριβώς μετά από έναν χρόνο; Θα έχουμε δύο ευρώ.

Πώς θα άλλαζε η κατάσταση αν η τράπεζα μας πρόσφερε επιτόκιο 50%, που θα προστίθεται κάθε έξι μήνες; Θα ήταν πιο συμφέρον για εμάς ή λιγότερο;

Μετά τους πρώτους έξι μήνες θα είχαμε μισό ακόμη. Το «μισό ακόμη» στα μαθηματικά το γράφουμε ως $x\cdot (1+\frac{1}{2})$. Στη θέση του x βάζουμε την κατάθεσή μας, δηλαδή ένα ευρώ, και υπολογίζουμε

$$1\cdot (1+\frac{1}{2})=1,5$$

Μετά από έξι μήνες έχουμε στον λογαριασμό 1,5 ευρώ. Μετά τους δεύτερους έξι μήνες θα είχαμε πάλι μισό ακόμη. Χρησιμοποιούμε τον ίδιο τύπο, μόνο που στη θέση του x βάζουμε το νέο μας υπόλοιπο, δηλαδή 1,5:

$$1,5\cdot (1+\frac{1}{2})=2,25$$

Μετά από έναν χρόνο έχουμε λοιπόν στον λογαριασμό 2,25 ευρώ. Ο συχνότερος ανατοκισμός με χαμηλότερο επιτόκιο μάς συμφέρει.

Ανατοκισμός κάθε μήνα

Τι θα γινόταν αν η τράπεζα μας πρόσφερε ανατοκισμό κάθε μήνα, αλλά το επιτόκιο έπεφτε στο ένα δωδέκατο του αρχικού; Ουφ, εδώ θα χρειαστεί λίγος υπολογισμός. Τι υπόλοιπο θα έχουμε μετά τον πρώτο μήνα; Θα έχουμε «ένα δωδέκατο ακόμη», που το γράφουμε ως $x\cdot (1+\frac{1}{12})$. Μετά τον πρώτο μήνα θα έχουμε λοιπόν:

$$1\cdot (1+\frac{1}{12})=\mathrm{1,083}3333\dots$$

Μετά τον δεύτερο μήνα θα έχουμε

$$\mathrm{1,083}3333\cdot (1+\frac{1}{12})=\mathrm{1,173}61111\dots$$

Πρόσεξε όμως ότι στη θέση του αριθμού 1,0833333 μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη γραφή $1\cdot (1+\frac{1}{12})$, αφού ξέρουμε ότι οι δύο αυτοί αριθμοί είναι ίσοι:

$$1\cdot (1+\frac{1}{12})\cdot (1+\frac{1}{12})=\mathrm{1,173}61111\dots$$

Μετά τον τρίτο μήνα θα έχουμε στον λογαριασμό:

$$1\cdot (1+\frac{1}{12})\cdot (1+\frac{1}{12})\cdot (1+\frac{1}{12})=\mathrm{1,271}41203$$

Όπως βλέπεις, ο υπολογισμός μας ακολουθεί ένα συγκεκριμένο μοτίβο. Η παρένθεση επαναλαμβάνεται τόσες φορές όσος είναι ο μήνας που υπολογίζουμε. Την προηγούμενη παράσταση μπορούμε να την απλοποιήσουμε: αντί για τρεις ίδιες παρενθέσεις γράφουμε μία και την υψώνουμε στην τρίτη:

$$1\cdot {(1+\frac{1}{12})}^3=\mathrm{1,271}41203$$

Και ο πολλαπλασιασμός με το 1 στην αρχή είναι περιττός, οπότε τον αφαιρούμε:

$${(1+\frac{1}{12})}^3=\mathrm{1,271}41203$$

Αν θέλουμε τώρα να υπολογίσουμε το υπόλοιπο μετά από δώδεκα μήνες, αρκεί να βάλουμε στον εκθέτη το 12 αντί για το 3:

$${(1+\frac{1}{12})}^{12}=\mathrm{2,613}0352$$

Μετά από δώδεκα μήνες έχουμε στον λογαριασμό περίπου 2,6130352 ευρώ. Δεν είναι άσχημα! Και είναι πολύ καλύτερα από ό,τι όταν είχαμε ετήσιο επιτόκιο 100%.

Συνεχής ανατοκισμός

Δεν χρειάζεται να σταματήσουμε στους μήνες. Πόσα θα είχαμε αν ανατοκίζαμε κάθε εβδομάδα με επιτόκιο ίσο με το $\frac{1}{52}$ του αρχικού; Αφού ξέρουμε ήδη τον τύπο, απλώς αντικαθιστούμε:

$${(1+\frac{1}{52})}^{52}=\mathrm{2,692}5969$$

Ημερήσιος ανατοκισμός;

$${(1+\frac{1}{365})}^{365}=\mathrm{2,714}5674$$

Ωριαίος ανατοκισμός; (Ο χρόνος έχει 8760 ώρες)

$${(1+\frac{1}{8760})}^{8760}=\mathrm{2,718}126$$

Βλέπουμε ότι κάθε φορά που παίρνουμε χαμηλότερο επιτόκιο και ανατοκίζουμε συχνότερα, στο τέλος έχουμε λίγο περισσότερα χρήματα. Οι αυξήσεις όμως δεν είναι πια τόσο μεγάλες. Θα μπορούσαμε να συνεχίσουμε επ' άπειρον. Μάλιστα, δεν είναι άσχημη ιδέα – θα μπορούσαμε να ανατοκίζουμε κάθε λεπτό, κάθε δευτερόλεπτο, κάθε χιλιοστό του δευτερολέπτου, κάθε νανοδευτερόλεπτο… μέχρι να φτάσουμε στο σημείο να ανατοκίζουμε αδιάκοπα. Θα είχαμε ένα συνεχές, απειροελάχιστο επιτόκιο, με το οποίο θα ανατοκίζαμε το υπόλοιπο κάθε στιγμή. Πόσα χρήματα θα είχαμε σε αυτή την περίπτωση στον λογαριασμό μετά από έναν χρόνο;

Πίσω στον αριθμό του Euler

Αυτό είναι το ερώτημα που προσπάθησε να υπολογίσει ο Jacob Bernoulli. Δυστυχώς γι' αυτόν δεν τα κατάφερε· τα κατάφερε μόλις τον 18ο αιώνα ο διάσημος μαθηματικός Leonhard Euler. Εκείνος υπολόγισε ότι μετά από έναν χρόνο θα είχαμε στον λογαριασμό

$$\mathrm{2,718}28182845904523536028747135\dots$$

ευρώ. Βλέπεις ότι δεν είναι πολύ περισσότερα από ό,τι όταν οι τόκοι προστίθεντο κάθε ώρα. Και επειδή αποδείχθηκε ότι αυτό το υπόλοιπο, αυτός ο αριθμός, είναι πολύ σημαντικός σε διάφορους τομείς των μαθηματικών, ονομάζεται μέχρι σήμερα αριθμός του Euler και τον συμβολίζουμε με το γράμμα e. Ο αριθμός του Euler είναι άρρητος αριθμός, δηλαδή αριθμός με άπειρη μη περιοδική δεκαδική παράσταση. Όπως για παράδειγμα και ο αριθμός π. Δεν θα τον δεις λοιπόν ποτέ ολόκληρο. Μπορούμε όμως να ορίσουμε με ακρίβεια τον αριθμό του Euler με τη βοήθεια του ορίου συνάρτησης:

$$e=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{n})}^n$$

Πηγές και σύνδεσμοι

• Ένα εξαιρετικό επεισόδιο του αγγλόφωνου καναλιού Numberphile για τον αριθμό του Euler.
• Πώς να υπολογίσεις τους τόκους ενός στεγαστικού δανείου