Συμπλήρωση τετραγώνου
Με τη μέθοδο της συμπλήρωσης τετραγώνου μπορούμε να εκφράσουμε την τετραγωνική συνάρτηση α x2 + β x + γ στη μορφή (x + m)2 + n.
Αλγόριθμος συμπλήρωσης τετραγώνου
Ο αλγόριθμος χρησιμοποιεί τον κλασικό τύπο για το τετράγωνο αθροίσματος:
Η διαδικασία είναι η εξής. Προς το παρόν ας υποθέσουμε ότι α = 1. Ας φανταστούμε ότι έχουμε την τετραγωνική συνάρτηση f(x) = x2 + 6x + 1 και θέλουμε να τη μετατρέψουμε στη μορφή (x + m)2 + n. Πρώτα προσδιορίζουμε τις τιμές από την πρώτη παρένθεση: (x + m)2. Ποιον αριθμό πρέπει να βάλουμε στη θέση του m; Σύμφωνα με τον τύπο πρέπει να ισχύει η ισότητα (x + m)2 = x2 + 2mx + m2. Στη συνάρτηση f έχουμε το x2, αυτό είναι εντάξει. Αλλά στη θέση του πρωτοβάθμιου όρου έχουμε 6x. Ποια τιμή πρέπει να επιλέξουμε για το m, ώστε να ισχύει 6x = 2mx; Προφανώς πρέπει να ισχύει m = β/2 = 6/2 = 3. Στη θέση του αριθμού m βάζουμε λοιπόν πάντα το μισό της τιμής του αριθμού β της τετραγωνικής συνάρτησης.
Πήραμε έτσι τη μορφή (x + 3)2 + n. Μένει να προσδιορίσουμε τον αριθμό n. Ξέρουμε ήδη ότι ισχύει (x + m)2 = x2 + 2mx + m2. Το μέρος x2 + 2mx το θέλουμε, αλλά η παράσταση m2 περισσεύει, στη συνάρτηση f δεν υπάρχει αντίστοιχό της. Γι' αυτό από το τρέχον αποτέλεσμα αφαιρούμε το m2. Παίρνουμε έτσι τη μορφή (x + m)2 − m2, που μετά την ανάπτυξη ισούται με x2 + 2mx + m2 − m2. Μετά την αφαίρεση έχουμε μόνο x2 + 2mx.
Στη συνάρτηση f όμως έχουμε ακόμα τον σταθερό όρο γ. Αυτόν απλώς τον προσθέτουμε. Παίρνουμε έτσι τη μορφή (x + m)2 − m2 + γ, μετά την ανάπτυξη x2 + 2mx + m2 − m2 + γ και μετά την απλοποίηση x2 + 2mx + γ. Επειδή m = β/2, αυτή η παράσταση ισούται με x2 + β x + γ, δηλαδή μετά την ανάπτυξη της παράστασης (x + m)2 − m2 + γ παίρνουμε πίσω την αρχική συνάρτηση, οπότε υπολογίσαμε σωστά. (Επαναλαμβάνω ότι α = 1, γι' αυτό δεν λείπει πουθενά.)
Για τη συνάρτηση-παράδειγμα f παίρνουμε έτσι την παράσταση στη μορφή τετραγώνου (x + 3)2 − 9 + 1 = (x + 3)2 − 8. Μπορούμε να δοκιμάσουμε να την αναπτύξουμε προς τα πίσω:
Η μέθοδος της συμπλήρωσης τετραγώνου χρησιμοποιείται για παράδειγμα όταν θέλεις να σχεδιάσεις τη γραφική παράσταση μιας τετραγωνικής συνάρτησης.
Όταν α ≠ 1
Στην περίπτωση που έχουμε συνάρτηση για την οποία δεν ισχύει α = 1, προχωράμε βγάζοντας από ολόκληρη τη συνάρτηση κοινό παράγοντα τον αριθμό α και συνεχίζουμε όπως ήδη ξέρουμε. Παράδειγμα:
Από ολόκληρη τη συνάρτηση βγάζουμε κοινό παράγοντα το δύο:
Τη συνάρτηση μέσα στην παρένθεση ξέρουμε ήδη να τη μετατρέψουμε σε τετράγωνο.
Αυτό το αποτέλεσμα το αντικαθιστούμε στην προηγούμενη εξίσωση και παίρνουμε:
