✖

Ακέραιοι αριθμοί

Οι ακέραιοι αριθμοί είναι οι αριθμοί που δεν έχουν δεκαδικό μέρος. Περιέχουν τους φυσικούς αριθμούς, τους αντίθετούς τους (αρνητικούς) και το μηδέν.

Ιδιότητες

Ιπτάμενοι αριθμοί

Οι ακέραιοι αριθμοί αποτελούν ένα σύνολο που περιέχει τους αριθμούς …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … Το σύνολο το συμβολίζουμε συνήθως με το γράμμα Z με διπλή τη μεσαία γραμμή: ℤ, από το γερμανικό «Zahlen» (αριθμοί). Οι ακέραιοι αριθμοί αποτελούν ένα άπειρο και αριθμήσιμο σύνολο.

Οι ακέραιοι αριθμοί έχουν, για παράδειγμα, τις εξής ιδιότητες:

  1. Είναι κλειστοί ως προς την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό, όπως και οι φυσικοί αριθμοί. Αυτό σημαίνει ότι αν προσθέσουμε δύο ακέραιους, παίρνουμε πάλι ακέραιο.
  2. Σε αντίθεση με τους φυσικούς αριθμούς, οι ακέραιοι είναι κλειστοί και ως προς την αφαίρεση. Οι φυσικοί δεν ήταν, επειδή η διαφορά δύο φυσικών αριθμών μπορούσε να είναι αρνητικός αριθμός. Στους ακέραιους αυτό δεν μας πειράζει, γιατί περιέχουν και τους αρνητικούς.
  3. Όπως και οι φυσικοί αριθμοί, δεν είναι κλειστοί ως προς τη διαίρεση. Εξακολουθεί να ισχύει ότι μετά τη διαίρεση μπορεί να πάρουμε κάποιον μη ακέραιο αριθμό.
  4. Για κάθε ακέραιο αριθμό c υπάρχει ο αντίθετος αριθμός −c. Αν έχουμε τον αριθμό 10, ο αντίθετός του είναι ο −10. Για το 55 είναι ο −55. Το ίδιο ισχύει και για τους αρνητικούς αριθμούς: για το −13 το αντίθετο στοιχείο είναι το 13. Αν έχουμε έναν ακέραιο c και τον αντίθετό του −c, τότε το άθροισμά τους είναι μηδέν: c + (−c) = 0. Γι' αυτό το αντίθετο στοιχείο του μηδενός είναι πάλι το μηδέν.

Άρτιοι και περιττοί αριθμοί

Τους ακέραιους αριθμούς μπορούμε να τους χωρίσουμε σε άρτιους και περιττούς. Άρτιοι είναι οι αριθμοί που διαιρούνται με το δύο, δηλαδή οι 2, −4, −8, 40, 124 κτλ. Οι περιττοί αριθμοί αφήνουν υπόλοιπο ένα όταν διαιρεθούν με το δύο, δηλαδή είναι οι αριθμοί −1, 1, 5, 19, −41 κτλ. Πρόσεξε ότι πράγματι και στους αρνητικούς αριθμούς ξεχωρίζουμε άρτιους και περιττούς (δηλαδή ο αριθμός −5 είναι πράγματι περιττός) και ότι το μηδέν είναι άρτιος αριθμός.

Ιδιότητες ως προς την πρόσθεση: αν προσθέσεις δύο άρτιους αριθμούς, παίρνεις πάλι άρτιο. Τις υπόλοιπες ιδιότητες τις δείχνει ο παρακάτω πίνακας:

άρτιος+άρτιος=άρτιοςάρτιος+περιττός=περιττόςπεριττός+περιττός=άρτιος

Ένας αντίστοιχος πίνακας για τον πολλαπλασιασμό:

άρτιος⋅άρτιος=άρτιοςάρτιος⋅περιττός=άρτιοςπεριττός⋅περιττός=περιττός

Ευκλείδεια διαίρεση

Και στο σύνολο των ακεραίων μπορούμε, όπως στους φυσικούς αριθμούς, να ορίσουμε την ευκλείδεια διαίρεση, αρκεί να αντιμετωπίσουμε τους αρνητικούς αριθμούς. Ο βασικός ορισμός θα έχει λοιπόν αυτή τη φορά την εξής μορφή:

α=π⋅β+υ,α,π∈Z,β∈Z∗,0≤υ<|β|

Σε αυτή την ισότητα διαιρούμε α:β, ο αριθμός π είναι το πηλίκο και ο αριθμός υ το υπόλοιπο της διαίρεσης. Ο αριθμός β πρέπει να είναι διαφορετικός από το μηδέν, δεν μπορούμε να διαιρέσουμε με το μηδέν. Το υπόλοιπο πρέπει να είναι μη αρνητικό και μικρότερο από την απόλυτη τιμή του β, κάτι που εξασφαλίζει ότι το πηλίκο και το υπόλοιπο είναι μοναδικά.

Πώς θα έμοιαζε μια τέτοια διαίρεση; Ας δοκιμάσουμε να διαιρέσουμε −21:4. Οι αριθμοί θα είναι οι εξής:

−21=−6⋅4+3

Το πηλίκο είναι −6 και το υπόλοιπο είναι 3. Μπορεί να σε εκπλήξει ότι το αποτέλεσμα διαφέρει από την περίπτωση που όλοι οι αριθμοί είναι θετικοί:

21=5⋅4+1

Εδώ το πηλίκο θα ήταν 5 και το υπόλοιπο 1. Η διαφορά οφείλεται ακριβώς στους αρνητικούς αριθμούς. Στους θετικούς αριθμούς, στο πρώτο βήμα ψάχνουμε τον μεγαλύτερο ακέραιο που δεν είναι μεγαλύτερος από το 21 και διαιρείται με το τέσσερα χωρίς υπόλοιπο. Αυτός είναι ο αριθμός 20. Γι' αυτό διαιρούμε 20:4 = 5 και παίρνουμε το πέντε μας. Το υπόλοιπο το βρίσκουμε από τη διαφορά 21 − 20.

Στους αρνητικούς αριθμούς προχωράμε με τον ίδιο τρόπο. Ψάχνουμε τον μεγαλύτερο αριθμό που δεν είναι μεγαλύτερος από το −21 και διαιρείται χωρίς υπόλοιπο με το 4. Ο αριθμός −20 όμως είναι μεγαλύτερος από το −21. Γι' αυτό ο μεγαλύτερος αριθμός που δεν είναι μεγαλύτερος από το −21 και διαιρείται χωρίς υπόλοιπο με το 4 είναι ο αριθμός −24. Το υπόλοιπο το παίρνουμε πάλι από τη διαφορά −21 − (−24) = −21 + 24 = 3.

Σχετικά άρθρα

Σύνδεσμοι