Μιγαδικοί αριθμοί

Οι μιγαδικοί αριθμοί αποτελούν επέκταση των πραγματικών αριθμών. Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών μπορούμε να κάνουμε τις περισσότερες κλασικές πράξεις, όπως πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμό και διαίρεση (εκτός από τη διαίρεση με το μηδέν). Στους πραγματικούς αριθμούς μπορούμε επίσης να πάρουμε ρίζα, αλλά μόνο από μη αρνητικούς αριθμούς. Αυτό αποτελεί ένα κενό, για παράδειγμα όταν λύνουμε μια εξίσωση δευτέρου βαθμού και βγει αρνητική διακρίνουσα. Αυτό το κενό το καλύπτουν οι μιγαδικοί αριθμοί.

Τι είναι ο μιγαδικός αριθμός

Οι μιγαδικοί αριθμοί διαφέρουν από τους συνηθισμένους κυρίως στο ότι περιέχουν δύο μέρη – το πραγματικό και το φανταστικό. Ο μιγαδικός αριθμός είναι ένα διατεταγμένο ζεύγος αριθμών (x, y), όπου ο αριθμός x είναι το πραγματικό μέρος και ο αριθμός y το φανταστικό μέρος. Αν το πραγματικό μέρος είναι μηδέν, πρόκειται για φανταστικό αριθμό. Οι ίδιοι οι αριθμοί x και y είναι πραγματικοί.

Το σύνολο των μιγαδικών αριθμών συμβολίζεται με το κεφαλαίο γράμμα C: ℂ.

Ισότητα μιγαδικών αριθμών: σε αντίθεση με τους συνηθισμένους αριθμούς, οι μιγαδικοί περιέχουν δύο συνιστώσες. Για να είναι λοιπόν δύο μιγαδικοί αριθμοί ίσοι, πρέπει να είναι ίσοι και στις δύο συνιστώσες. Αυτοί οι μιγαδικοί αριθμοί είναι έτσι διαφορετικοί μεταξύ τους: (2, 3) ≠ (0, 3) ≠ (2, 0). Οι μιγαδικοί αριθμοί z₁ = (1, 2) και z₂ = (1, 2) είναι ίσοι: z₁ = z₂.

Αλγεβρική μορφή και φανταστική μονάδα

Οι μιγαδικοί αριθμοί γράφονται συχνότερα σε αλγεβρική μορφή, η οποία είναι η εξής. Ο μιγαδικός αριθμός (x, y) έχει αλγεβρική μορφή x + yi, όπου το i λέγεται φανταστική μονάδα. Για το τετράγωνο της φανταστικής μονάδας ισχύει μια πολύ σημαντική σχέση:

$$i^2=-1$$

Αυτή η εξίσωση θα χρησιμοποιείται στη συνέχεια συχνά, μαζί με άλλες δυνάμεις. Οι μεγαλύτερες δυνάμεις μπορούν να υπολογιστούν με τον συνηθισμένο τρόπο. Για παράδειγμα, αν θέλουμε να απλοποιήσουμε το i³, μπορούμε σύμφωνα με τους κανόνες για τις δυνάμεις να αναλύσουμε την παράσταση σε i² · i. Ήδη ξέρουμε ότι το i² ισούται με μείον ένα. Το δεύτερο i δεν αναλύεται περαιτέρω, οπότε παίρνουμε: i³ = −i.

$$i^3=\underset{-1}{\underbrace{i^2}}\cdot \underset{i}{\underbrace{i}}=-i$$

Ομοίως για το i⁴. Αυτό μπορούμε να το αναλύσουμε σε i² · i², όπου i² = −1, οπότε παίρνουμε: −1 · − 1 = 1.

$$i^4=\underset{-1}{\underbrace{i^2}}\cdot \underset{-1}{\underbrace{i^2}}=-1\cdot -1=1$$

Άρα i⁴ = 1. Αυτό το γεγονός μπορούμε να το αξιοποιήσουμε όταν υπολογίζουμε ακόμη μεγαλύτερες δυνάμεις της φανταστικής μονάδας. Για παράδειγμα, όταν υπολογίζουμε το i⁷, μπορούμε να το αναλύσουμε σε i⁴ · i³. Ξέρουμε ότι i⁴ = 1, οπότε παίρνουμε: 1 · i³. Και ξέρουμε ότι i³ = −i. Το αποτέλεσμα είναι: 1 · (−i) = −i.

Πρόσθεση και πολλαπλασιασμός

Τους μιγαδικούς αριθμούς μπορούμε να τους προσθέτουμε και να τους πολλαπλασιάζουμε. Στην πρόσθεση δύο μιγαδικών αριθμών z₁ και z₂ απλώς προσθέτουμε χωριστά τα πραγματικά και χωριστά τα φανταστικά μέρη:

$$z_1+z_2=(x_1+y_{1}i)+(x_2+y_{2}i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i$$

Παράδειγμα: z₁ = 3 + 7i και z₂ = 5 + 8i. Το άθροισμα θα έμοιαζε ως εξής: z₁ + z₂ = (3 + 5) + (7 + 8)i = 8 + 15i.

Το γινόμενο δύο μιγαδικών αριθμών είναι λίγο πιο περίπλοκο, αλλά μπορεί να αναλυθεί στον κλασικό πολλαπλασιασμό παρενθέσεων. Ο βασικός τύπος έχει την εξής μορφή:

$$z_1\cdot z_2=(x_1+y_{1}i)\cdot (x_2+y_{2}i)=(x_1{x}_2-y_1{y}_2)+(x_1{y}_2+x_2{y}_1)i$$

Και πώς καταλήξαμε σε αυτόν; Δοκιμάζουμε να πολλαπλασιάσουμε z₁ · z₂ όπως θα πολλαπλασιάζαμε μια συνηθισμένη παρένθεση. Παίρνουμε:

$$z_1\cdot z_2=x_1{x}_2+x_1{y}_{2}i+x_2{y}_{1}i+y_1{y}_2{i}^2$$

Επειδή i² = −1, μετά την απλοποίηση του τελευταίου όρου παίρνουμε:

$$z_1\cdot z_2=x_1{x}_2+x_1{y}_{2}i+x_2{y}_{1}i-y_1{y}_2$$

Και τώρα απλώς βάζουμε μαζί τους όρους χωρίς τη φανταστική μονάδα και με αυτήν:

$$z_1\cdot z_2=(x_1{x}_2-y_1{y}_2)+(x_1{y}_2+x_2{y}_1)i$$

Παράδειγμα. Ας δοκιμάσουμε να πολλαπλασιάσουμε τους αριθμούς 5 + 6i και 4 + 7i. Παίρνουμε:

$$(5+6i)\cdot (4+7i)=20+35i+24i+42i^2=20+59i-42=-22+59i$$

Αντίθετος, αντίστροφος και συζυγής αριθμός

• Ο αντίθετος αριθμός ενός μιγαδικού αριθμού x + yi έχει τη μορφή −x − yi. Όπως και στους πραγματικούς αριθμούς, τον αντίθετο τον παίρνουμε πολλαπλασιάζοντας τον δοσμένο μιγαδικό αριθμό με το μείον ένα. Παράδειγμα: ο αντίθετος του 2 + 7i είναι ο −2 − 7i. Ο αντίθετος του −5 + 8i είναι ο 5 − 8i κτλ.

• Ο αντίστροφος αριθμός ενός μιγαδικού αριθμού x + yi έχει τη μορφή $\frac{1}{x+yi}$. Ο αντίστροφος του αριθμού 4 − 2i έχει έτσι τη μορφή $\frac{1}{4-2i}$.

• Ο συζυγής αριθμός του x + yi έχει τη μορφή x − yi. Συμβολίζεται συνήθως με παύλα πάνω από το γράμμα ως εξής: $\bar{z}$, ή με αστερίσκο z^∗. Ένας τέτοιος αριθμός είναι ο συζυγής μιγαδικός του μιγαδικού αριθμού z. Ο συζυγής του αριθμού 2 + 9i είναι ο αριθμός 2 − 9i.

Αφαίρεση και διαίρεση

Αφού έχουμε ορίσει τον αντίθετο και τον αντίστροφο αριθμό, μπορούμε να ορίσουμε και τις πράξεις της αφαίρεσης και της διαίρεσης. Αν θέλουμε να αφαιρέσουμε δύο μιγαδικούς αριθμούς, z₁ − z₂, προσθέτουμε στον αριθμό z₁ τον αντίθετο του αριθμού z₂. Στην πράξη παίρνουμε έναν απλό τύπο:

$$z_1-z_2=(x_1+y_{1}i)-(x_2+y_{2}i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i$$

Ομοίως τη διαίρεση z₁ / z₂ τη μετατρέπουμε σε πολλαπλασιασμό πολλαπλασιάζοντας z₁ · z₂′, όπου z₂′ είναι ο αντίστροφος του αριθμού z₂.

Μέτρο

Το μέτρο ενός μιγαδικού αριθμού z το υπολογίζουμε με τον τύπο:

$$|z|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{z\cdot \bar{z}}$$

(Στην τετραγωνική ρίζα το δεύτερο z είναι ο συζυγής μιγαδικός του z.) Η σημασία αυτού του τύπου φαίνεται καλά στη γεωμετρική παράσταση των μιγαδικών αριθμών.

Κάθε μιγαδικός αριθμός με μέτρο ίσο με ένα λέγεται μοναδιαίος μιγαδικός. Παραδείγματα μοναδιαίων μιγαδικών: 1, i, $\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i$.

Ιδιότητες του μέτρου:

• Το μέτρο ενός μιγαδικού αριθμού είναι πραγματικός αριθμός.
• |z| ≥ 0
• $|z|=|-z|=|\bar{z}|$, όπου $\bar{z}$ είναι ο συζυγής μιγαδικός.