Προσεταιριστική ιδιότητα

Η προσεταιριστική ιδιότητα είναι ιδιότητα πράξεων όπως η πρόσθεση ή ο πολλαπλασιασμός. Ρίξε μια ματιά στις παρακάτω δύο γραφές της πρόσθεσης:

$$(1+2)+31+(2+3)$$

Οι παραστάσεις διαφέρουν μόνο στο σημείο όπου βρίσκεται η παρένθεση. Διαφέρουν όμως τα αποτελέσματα; Και οι δύο παραστάσεις οδηγούν στο ίδιο αποτέλεσμα, το άθροισμα είναι πάντα ίσο με 6. Αν η θέση των παρενθέσεων δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα, λέμε ότι η πράξη είναι προσεταιριστική. Με μεγαλύτερη ακρίβεια μπορούμε να γράψουμε ότι η πράξη a ∘ b είναι προσεταιριστική, αν ισχύει

$$(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$$

Μια ακόμα προσεταιριστική πράξη είναι ο πολλαπλασιασμός, επειδή ισχύει

$$(2\cdot 3)\cdot 4=2\cdot (3\cdot 4)=24$$

Πράξεις που δεν είναι προσεταιριστικές

Η αφαίρεση δεν είναι προσεταιριστική. Για παράδειγμα, πάρε την παράσταση (10 − 4) − 3. Πρώτα υπολογίζουμε τη διαφορά μέσα στην παρένθεση και βρίσκουμε 6 − 3, που ισούται με 3. Αν όμως δοκιμάσουμε να υπολογίσουμε το 10 − (4 − 3), πάλι υπολογίζουμε πρώτα το περιεχόμενο της παρένθεσης και παίρνουμε 10 − 1, που είναι 9. Η αφαίρεση λοιπόν δεν είναι προσεταιριστική πράξη.

Παρόμοια, δεν είναι προσεταιριστική η διαίρεση. Για παράδειγμα, πάρε την παράσταση (64 / 4) / 2. Πρώτα υπολογίζουμε την παρένθεση και παίρνουμε 16/2, που είναι 8. Αν όμως βάλουμε την παρένθεση αλλού, παίρνουμε 64 / (4 / 2) και, αφού υπολογίσουμε την παρένθεση, έχουμε 64 / 2, που είναι 32. Η διαίρεση λοιπόν δεν είναι προσεταιριστική.

Μια άλλη τυπική πράξη που δεν είναι προσεταιριστική είναι η δύναμη:

$${\left(2^3\right)}^4\ne 2^{\left(3^4\right)}$$

Η προσεταιριστική ιδιότητα αφορά μία πράξη!

Πρόσεχε ότι η προσεταιριστική ιδιότητα αφορά πάντα μία πράξη. Αν είχαμε παράσταση με τρεις αριθμούς, αλλά όχι με την ίδια πράξη, δεν θα μπορούσαμε να εφαρμόσουμε την προσεταιριστική ιδιότητα. Για παράδειγμα:

$$(1+2)\cdot 3$$

η παράσταση περιέχει δύο πράξεις – πρόσθεση και πολλαπλασιασμό. Και οι δύο πράξεις είναι από μόνες τους προσεταιριστικές, παρ' όλα αυτά τώρα δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε την προσεταιριστική ιδιότητα, δεν μπορούμε να τη μετατρέψουμε στην

$$1+(2\cdot 3)$$

επειδή η παράσταση περιέχει δύο διαφορετικές πράξεις. Για να μπορέσουμε να εφαρμόσουμε την προσεταιριστική ιδιότητα, θα έπρεπε και οι δύο πράξεις να είναι πρόσθεση ή και οι δύο πολλαπλασιασμός.

Τομή και ένωση

Η τομή συνόλων είναι προσεταιριστική. Για παράδειγμα, στην παράσταση:

$$(\{1,2,3\}\cap \{1,3,5\})\cap \{1,5,7\}$$

θα κάναμε πρώτα την τομή των συνόλων μέσα στην παρένθεση και θα τη φέρναμε στη μορφή

$$\{1,3\}\cap \{1,5,7\}$$

Και η τομή αυτών των συνόλων είναι ίση με {1}. Αν μετακινούσαμε τις παρενθέσεις, θα παίρναμε

$$\{1,2,3\}\cap (\{1,3,5\}\cap \{1,5,7\})$$

και μετά τον υπολογισμό της παρένθεσης:

$$\{1,2,3\}\cap \{1,5\}$$

Και πάλι θα πάρουμε {1}. Βλέπουμε ότι η θέση των παρενθέσεων δεν έχει σημασία και γι' αυτό η τομή συνόλων είναι προσεταιριστική. Παρόμοια προσεταιριστική θα ήταν και η ένωση συνόλων.

Συνένωση λέξεων

Φαντάσου ότι είχαμε μια πράξη πρόσθεσης για κομμάτια λέξεων και ότι αυτή σήμαινε απλώς τη συνένωση των λέξεων. Δηλαδή το «υπο» + «λογιστής» θα ήταν ίσο με τη λέξη «υπολογιστής». Μια τέτοια πράξη θα ήταν προσεταιριστική. Για παράδειγμα, αν γράφαμε («φωτο» + «γρα») + «φία», τότε πρώτα, προσθέτοντας μέσα στην παρένθεση, θα παίρναμε «φωτογρα» + «φία», που θα μας έδινε τη λέξη «φωτογραφία». Αν μετακινούσαμε την παρένθεση, «φωτο» + («γρα» + «φία»), θα παίρναμε μετά την πρόσθεση στην παρένθεση «φωτο» + «γραφία», που πάλι θα μας έδινε τη λέξη «φωτογραφία».

Το μέγιστο ή το ελάχιστο είναι προσεταιριστικό

Ας φανταστούμε την πράξη a ∨ b, που μας επιστρέφει τον μεγαλύτερο από δύο αριθμούς. Μια τέτοια πράξη θα ήταν προσεταιριστική. Για παράδειγμα, το (5 ∨ 10) ∨ 7 θα το φέρναμε στη μορφή 10 ∨ 7 και αυτό θα ήταν ίσο με 10. Το δέκα είναι ο μεγαλύτερος από τους τρεις αριθμούς. Αν αλλάζαμε τη θέση των παρενθέσεων, θα παίρναμε 5 ∨ (10 ∨ 7), μετά τον υπολογισμό 5 ∨ 10, που πάλι είναι 10.

Το ελάχιστο θα συμπεριφερόταν ακριβώς το ίδιο.