Ιδιότητες συναρτήσεων

Συνάρτηση είναι ένας κανόνας που σε κάθε αριθμό x από το πεδίο ορισμού M αντιστοιχίζει ακριβώς ένα y από το σύνολο τιμών N. Τη συνάρτηση γράφουμε συνήθως στη μορφή y = f(x) ή μπορούμε να την εκφράσουμε ρητά f:y = x, όπου η μεταβλητή x είναι το όρισμα της συνάρτησης.

Πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών

Για κάθε συνάρτηση πρέπει επίσης να προσδιορίσουμε το πεδίο ορισμού της, που είναι το σύνολο όλων των επιτρεπτών τιμών του ορίσματος x, δηλαδή όλες οι τιμές που μπορεί να πάρει η μεταβλητή x. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f το συμβολίζουμε D_f.

Απλό παράδειγμα: f:y = x, εδώ το πεδίο ορισμού είναι ολόκληρο το σύνολο των πραγματικών αριθμών D_f = ℝ. Άλλο παράδειγμα: $f:y=\frac{1}{x}$, στην περίπτωση αυτή το πεδίο ορισμού είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών, αλλά αυτή τη φορά εκτός από το μηδέν, επειδή δεν μπορείς να διαιρέσεις με το μηδέν, η παράσταση τότε δεν θα είχε νόημα D_f = ℝ ∖ {0}.

Σύνολο τιμών είναι κατ' αναλογία το σύνολο όλων των επιτρεπτών y, δηλαδή το σύνολο όλων των στοιχείων προς τα οποία μπορεί να δείχνει η συνάρτηση f. Πάλι απλό παράδειγμα: έστω η συνάρτηση f:y = x. Εδώ το σύνολο τιμών είναι το σύνολο ℝ, επειδή το y μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή από αυτό το σύνολο. Πάρε όμως μια άλλη συνάρτηση f:y = |x| (απόλυτη τιμή). Εδώ το σύνολο τιμών θα είναι ίσο με το διάστημα [0, +∞), επειδή δεν μπορεί ποτέ να συμβεί το y να είναι ίσο για παράδειγμα με το μείον πέντε, αφού αυτό από τον ορισμό της απόλυτης τιμής δεν είναι δυνατό.

Αν κρατήσουμε την έννοια της απεικόνισης από το σύνολο A στο σύνολο B, τότε να ξέρεις ότι το σύνολο A είναι το πεδίο ορισμού και το σύνολο B είναι το σύνολο στο οποίο απεικονίζει η συνάρτηση· το σύνολο τιμών είναι υποσύνολό του.

Μονοτονία συνάρτησης

Η μονοτονία της συνάρτησης είναι μια ιδιότητα που καθορίζει αν η συνάρτηση σε ένα δοσμένο διάστημα είναι γνησίως αύξουσα, γνησίως φθίνουσα, φθίνουσα, αύξουσα, σταθερή ή τίποτε από τα παραπάνω.

Αυτή η ιδιότητα διαβάζεται καλύτερα από τη γραφική παράσταση, αν έχεις την αίσθηση ότι η γραφική παράσταση κατεβαίνει, πρόκειται για γνησίως φθίνουσα συνάρτηση, αν η συνάρτηση ανεβαίνει, είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση. Πόσο απλό :-). Οι ορισμοί θα ήταν οι εξής: έχουμε μια συνάρτηση f και έστω x₁, x₂ ∈ D_f. Τότε λέμε ότι

• η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα, αν από x₁ < x₂ προκύπτει f(x₁) < f(x₂).
• η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα, αν από x₁ < x₂ προκύπτει f(x₁) > f(x₂). (Ο ορισμός μοιάζει ίδιος, αλλά στην πρώτη περίπτωση στις τιμές της συνάρτησης υπάρχει < και στη δεύτερη >)

Κοίταξε τη γραφική παράσταση της γνησίως αύξουσας συνάρτησης f(x) = ln(x):

Βλέπουμε ότι όταν επιλέγουμε τέτοια x₁, x₂ ώστε να ισχύει x₁ < x₂, τότε ισχύει επίσης ότι f(x₁) < f(x₂). Τώρα κοίταξε μια άλλη γραφική παράσταση, αυτή τη φορά της συνάρτησης $f(x)=\frac{1}{x}$, που είναι γνησίως φθίνουσα για παράδειγμα στο διάστημα (0, +∞):

Εδώ βλέπουμε ότι όταν x₁ < x₂, για τις τιμές τους ισχύει αντίθετα f(x₁) > f(x₂). Παρότι το x₁ είναι μικρότερο από το x₂, «δημιουργεί» μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης.

Ας δούμε και τους υπόλοιπους ορισμούς:

• Η συνάρτηση f είναι αύξουσα, αν από x₁ < x₂ προκύπτει f(x₁) ≤ f(x₂). (Ο ορισμός είναι παρόμοιος με της γνησίως αύξουσας συνάρτησης, απλώς επιτρέπουμε η συνάρτηση σε ένα ορισμένο τμήμα να έχει σταθερή τιμή)
• Η συνάρτηση f είναι φθίνουσα, αν από x₁ < x₂ προκύπτει f(x₁) ≥ f(x₂).
• Η συνάρτηση f είναι σταθερή, αν το σύνολο τιμών είναι μονοσύνολο, δηλαδή αν για οποιαδήποτε δύο x₁, x₂ ισχύει ότι f(x₁) = f(x₂).

Παράδειγμα φθίνουσας συνάρτησης είναι η συνάρτηση f(x) = |x|−x:

Πρόσεξε ότι στο διάστημα (−∞, 0) η συνάρτηση φθίνει, αλλά στο υπόλοιπο διάστημα η συνάρτηση έχει σταθερή τιμή (μηδέν). Σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού πρόκειται λοιπόν για φθίνουσα συνάρτηση.

Άρτια και περιττή συνάρτηση

Μερικές συναρτήσεις μπορεί υπό ορισμένες συνθήκες να είναι άρτιες ή περιττές. Το απλούστερο είναι να ξέρεις τη γραφική παράσταση, εκεί αυτό φαίνεται πιο γρήγορα. Η άρτια συνάρτηση είναι συμμετρική ως προς τον άξονα y'y, ενώ η περιττή συνάρτηση είναι συμμετρική ως προς την αρχή των αξόνων (0, 0). Παράδειγμα άρτιας συνάρτησης μπορεί να είναι η y = x² και περιττή συνάρτηση είναι για παράδειγμα η συνάρτηση y = 2x. Οι ορισμοί θα ήταν οι εξής – η συνάρτηση f είναι

• άρτια, αν για όλα τα x ∈ D_f ισχύει ότι f(x) = f(−x),
• περιττή, αν για όλα τα x ∈ D_f ισχύει ότι −f(x) = f(−x).

Για τις άρτιες και περιττές συναρτήσεις υπάρχει ξεχωριστό άρθρο Άρτια και περιττή συνάρτηση.

Συνάρτηση 1-1

Τη συνάρτηση 1-1 την αναγνωρίζουμε από το ότι έχει όλες τις τιμές μοναδικές, καμία τιμή δεν επαναλαμβάνεται. Ορισμός:

Η συνάρτηση f είναι 1-1, αν για όλα τα x₁, x₂ ∈ D_f ισχύει ότι

$$x_1\ne x_2\Rightarrow f(x_1)\ne f(x_2)$$

Αν επιλέξουμε δύο διαφορετικά x από το πεδίο ορισμού της συνάρτησης, τότε οι τιμές τους πρέπει πάντα να είναι διαφορετικές.

Γραφικά αυτό αναγνωρίζεται, όπως πάντα, πολύ απλά. Αν φέρεις μια ευθεία παράλληλη προς τον άξονα x'x να τέμνει τη γραφική παράσταση, πρέπει να την τέμνει το πολύ σε ένα σημείο. Παράδειγμα συνάρτησης 1-1 είναι η γραμμική συνάρτηση y = 3x. Όποια ευθεία κι αν πάρεις, πάντα τέμνει τη γραφική παράσταση ακριβώς σε ένα σημείο. Το αντίθετο είναι για παράδειγμα η συνάρτηση ημίτονο, της οποίας η γραφική παράσταση σχηματίζει κάτι σαν κυματάκια, οπότε αν φέρεις μια ευθεία παράλληλη προς τον άξονα x'x που τέμνει τον άξονα y'y στο σημείο $\frac{1}{2}$, θα βρεις άπειρα σημεία τομής με τη γραφική παράσταση, άρα δεν είναι συνάρτηση 1-1.

Φραγμένη συνάρτηση

Οι συναρτήσεις μπορεί να είναι φραγμένες, και μάλιστα άνω φραγμένες, κάτω φραγμένες ή και άνω και κάτω φραγμένες – μια τέτοια συνάρτηση την ονομάζουμε απλώς φραγμένη συνάρτηση. Η συνάρτηση f είναι άνω φραγμένη, αν βρούμε έναν πραγματικό αριθμό A, που είναι μεγαλύτερος από όλες τις τιμές της συνάρτησης f. Παρόμοια για την κάτω φραγμένη συνάρτηση. Οι ορισμοί λοιπόν:

• Η συνάρτηση f είναι άνω φραγμένη, αν υπάρχει A ∈ ℝ τέτοιο ώστε για όλα τα x ∈ D_f να ισχύει ότι A > f(x).
• Η συνάρτηση f είναι κάτω φραγμένη, αν υπάρχει A ∈ ℝ τέτοιο ώστε για όλα τα x ∈ D_f να ισχύει ότι A < f(x).

Γραφικά μπορούμε να το φανταστούμε ως εξής: ψάχνουμε μια ευθεία παράλληλη προς τον άξονα x'x (δηλαδή οριζόντια ευθεία), που βρίσκεται πάνω ή κάτω από ολόκληρη τη γραφική παράσταση της συνάρτησης.

Στο σχήμα έχουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = x⁴, που είναι κάτω φραγμένη. Πρόσεξε ότι δεν χρειάζεται καθόλου να βρούμε το A που είναι «πιο κοντά» στη γραφική παράσταση, αρκεί να τοποθετήσουμε την ευθεία οπουδήποτε κάτω από τη γραφική παράσταση.

Ελάχιστο και μέγιστο

Η συνάρτηση f έχει στο σημείο M του πεδίου ορισμού μέγιστο, αν σε αυτό το σημείο M παίρνει τη μεγαλύτερη από όλες τις τιμές της. Παρόμοια για το ελάχιστο. Ορισμοί:

• Η συνάρτηση f έχει στο σημείο M ∈ D_f ολικό μέγιστο, αν για όλα τα x ∈ D_f ισχύει f(x) ≤ f(M) – με λίγα λόγια, ότι η τιμή της συνάρτησης είναι η μεγαλύτερη στο σημείο M. Αν υπάρχει μόνο ένα μέγιστο, το λέμε γνήσιο μέγιστο.
• Η συνάρτηση f έχει στο σημείο m ∈ D_f ολικό ελάχιστο, αν για όλα τα x ∈ D_f ισχύει f(x) ≥ f(m) – η τιμή της συνάρτησης είναι η μικρότερη στο σημείο m.

Στη γραφική παράσταση το μέγιστο και το ελάχιστο της συνάρτησης μάλλον τα βρίσκεις αρκετά εύκολα, απλώς κοιτάς πού είναι η συνάρτηση χαμηλότερα ή υψηλότερα. Η συνάρτηση βέβαια μπορεί να μην έχει ούτε ελάχιστο ούτε μέγιστο, ή να έχει μόνο ελάχιστο ή μόνο μέγιστο, και επίσης η συνάρτηση μπορεί να έχει μόνο τοπικά ακρότατα, αλλά σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού να μην έχει κανένα ακρότατο.

Αν χρειάζεται να βρεις ελάχιστα και μέγιστα, χρησιμοποίησε τις παραγώγους, η ακριβής διαδικασία περιγράφεται στο άρθρο μελέτη συνάρτησης.

Παράδειγμα

Προσδιόρισε τις ιδιότητες της συνάρτησης σύμφωνα με την ακόλουθη γραφική παράσταση:

• Πεδίο ορισμού αυτής της συνάρτησης είναι το διάστημα [−4, 4].
• Σύνολο τιμών είναι το διάστημα [−2, 4].
• Η συνάρτηση μεν φαίνεται ότι θα μπορούσε να είναι γνησίως αύξουσα, αλλά στο τμήμα [0, 2] η συνάρτηση έχει σταθερή τιμή, άρα γνησίως αύξουσα δεν μπορεί να είναι. Πάντως η συνάρτηση σε κανένα διάστημα δεν φθίνει, γι' αυτό είναι αύξουσα συνάρτηση.
• Η γραφική παράσταση της συνάρτησης δεν είναι συμμετρική ούτε ως προς τον άξονα y'y ούτε ως προς την αρχή των αξόνων, άρα η συνάρτηση δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή.
• Είναι η συνάρτηση 1-1; Έχει ήδη ειπωθεί ότι στο τμήμα [0, 2] η συνάρτηση έχει σταθερή τιμή, άρα η συνάρτηση δεν μπορεί να είναι 1-1. Για διαφορετικά x έχει το ίδιο y.
• Η συνάρτηση είναι φραγμένη και μάλιστα και άνω και κάτω. Μπορούμε να βρούμε οριζόντια ευθεία που θα είναι πάνω από ολόκληρη τη γραφική παράσταση και κάτω από ολόκληρη τη γραφική παράσταση.
• Η δοσμένη συνάρτηση έχει και ελάχιστο και μέγιστο. Ελάχιστο έχει στο σημείο m = −4 και μέγιστο στο σημείο M = 4.