Ρίζες

Η ρίζα είναι μερική αντίστροφη συνάρτηση της δύναμης. Συνήθως δουλεύουμε με την τετραγωνική ρίζα, που ψάχνει τον αριθμό ο οποίος, όταν τον πολλαπλασιάσουμε με τον εαυτό του, δίνει τον αρχικό αριθμό από τον οποίο πήραμε τη ρίζα.

Τετραγωνική ρίζα

Για τη ρίζα χρησιμοποιείται το σύμβολο $\sqrt{}$, και για να μην χρειάζεται να γράφουμε το όρισμα της ρίζας σε παρένθεση κάπως έτσι: $\sqrt{}$(25), σχεδιάζουμε πάνω από ολόκληρο το όρισμα (την παράσταση της οποίας θέλουμε να πάρουμε τη ρίζα) μια οριζόντια γραμμή, ως εξής: $\sqrt{25}$.

Στην αρχή θα ασχοληθούμε μόνο με την τετραγωνική ρίζα πραγματικού αριθμού. Αυτήν θα την ορίζαμε ως εξής:

$$\sqrt{a}\cdot \sqrt{a}=a$$

Αν πολλαπλασιάσεις τη ρίζα του αριθμού a με τη ρίζα του αριθμού a, παίρνεις τον αριθμό a. Άρα για τον αριθμό 9 η ρίζα θα ήταν ίση με 3, επειδή ισχύει 3 · 3 = 9.

Την προηγούμενη παράσταση μπορούμε να τη γράψουμε και ως εξής:

$${\left(\sqrt{a}\right)}^2=a$$

Είναι απλώς ένας άλλος τρόπος γραφής του προηγούμενου πολλαπλασιασμού, και συγκεκριμένα με τη βοήθεια της δύναμης.

Σημαντικό είναι ότι αυτή η εξίσωση ισχύει μόνο για τα a που ανήκουν στο πεδίο ορισμού της ρίζας. Ισχύει δηλαδή ότι δεν μπορούμε να πάρουμε ρίζα αρνητικού αριθμού. Μπορούμε να πάρουμε ρίζα οποιουδήποτε θετικού αριθμού, μπορούμε να πάρουμε ρίζα του μηδενός, αλλά δεν μπορούμε να πάρουμε ρίζα αρνητικού αριθμού; Γιατί δεν γίνεται;

Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να υπολογίσουμε τη ρίζα του −25. Έχουμε κατ' αρχήν δύο επιλογές για τον αριθμό που θα διαλέξουμε. Ή θετικό ή αρνητικό. Αν διαλέξουμε θετικό, έχουμε 5 · 5 = 25. Πήραμε μεν 25, εμείς όμως θέλουμε −25. Δοκιμάζουμε λοιπόν το −5· όμως μετά τον πολλαπλασιασμό έχουμε πάλι 25. Με δυο λόγια, αν πολλαπλασιάσεις δύο αρνητικούς αριθμούς, παίρνεις θετικό αριθμό. Το ίδιο και όταν πολλαπλασιάζεις δύο θετικούς αριθμούς. Θα έπρεπε να πολλαπλασιάσεις −5 · 5, για να πάρεις −25, και αυτό δεν γίνεται, γιατί πολλαπλασιάζεις δύο διαφορετικούς αριθμούς, έστω και αν διαφέρουν μόνο στο πρόσημο. Γι' αυτό δεν μπορεί να υπολογιστεί η ρίζα αρνητικού αριθμού.

Ρίζες ανώτερης τάξης

Όπως μπορούμε να υψώσουμε μια παράσταση στη δεύτερη, στην τρίτη, στην τέταρτη, μπορούμε να έχουμε και τρίτη και τέταρτη και τελικά n-οστή ρίζα ενός πραγματικού αριθμού. Την τάξη της ρίζας τη γράφουμε συνήθως πάνω αριστερά στο σύμβολο, ως εξής:

$$\sqrt[5]{32}$$

Αυτός ο συμβολισμός δηλώνει την πέμπτη ρίζα του αριθμού τριάντα δύο. Την n-οστή ρίζα την ορίζουμε με τη βοήθεια της n-οστής δύναμης ως εξής:

$$\sqrt[n]{a}=b\iff b^n=a;n\in {\mathbb{N}}^{\ast },a,b\ge 0$$

Αν στη θέση του n βάλουμε το δύο, παίρνουμε την τετραγωνική ρίζα, όπως την ορίσαμε πριν από λίγο. Συνοπτικά θα μπορούσαμε να το ορίσουμε και ως εξής:

$${\left(\sqrt[n]{a}\right)}^n=a$$

Ισχύει η σύμβαση ότι για την τετραγωνική ρίζα δεν χρειάζεται να γράφουμε το δύο, δηλαδή αυτές οι γραφές είναι ισοδύναμες:

$$\sqrt{64}=\sqrt[2]{64}$$

Άρα, για παράδειγμα, για την τέταρτη ρίζα θα ίσχυε:

$$\sqrt[4]{a}\cdot \sqrt[4]{a}\cdot \sqrt[4]{a}\cdot \sqrt[4]{a}=a$$

Και ένα συγκεκριμένο παράδειγμα:

$$\sqrt[3]{64}=4$$

Και αντίστροφα ισχύει 4 · 4 · 4 = 64.

Ρίζα αρνητικού αριθμού

Ήδη ξέρουμε ότι δεν υπάρχει τετραγωνική ρίζα αρνητικού αριθμού, επειδή το a², όπου το a είναι πραγματικός αριθμός, δεν θα είναι ποτέ αρνητικό. Ωστόσο στις ρίζες ανώτερης τάξης δεν πολλαπλασιάζουμε μόνο δύο φορές, οπότε μπορεί να προκύψουν περιπτώσεις όπου υπάρχει n-οστή ρίζα αρνητικού αριθμού. Πώς έχει λοιπόν το πράγμα;

Μας ενοχλούσε ότι όταν πολλαπλασιάσουμε δύο φορές έναν αρνητικό αριθμό, παίρνουμε θετικό αριθμό. Για αποτέλεσμα −25 χρειαζόμασταν το γινόμενο −5 · 5. Τι γίνεται όμως όταν πολλαπλασιάζουμε τρεις αρνητικούς αριθμούς; Μετά τον πολλαπλασιασμό των δύο πρώτων αρνητικών αριθμών έχουμε θετικό αριθμό. Αλλά μετά τον πολλαπλασιασμό με τον τελευταίο αρνητικό αριθμό έχουμε πάλι αρνητικό αριθμό. Αν πολλαπλασιάζαμε άλλη μία φορά (συνολικά τέσσερις φορές), θα ήμασταν πάλι στους θετικούς αριθμούς.

Το συμπέρασμα είναι ότι αν πολλαπλασιάσουμε έναν αρνητικό αριθμό n φορές, όταν το n είναι άρτιο, το γινόμενο που προκύπτει είναι θετικό, όταν είναι περιττό, το γινόμενο είναι αρνητικό. Από αυτό συμπεραίνουμε ότι υπάρχει n-οστή ρίζα αρνητικού αριθμού, όταν το n είναι περιττό. Παράδειγμα:

$$\sqrt[3]{-216}=-6$$

Μετατροπή σε δύναμη

Τις ρίζες μπορούμε εύκολα να τις μετατρέψουμε σε δυνάμεις και αυτό γίνεται συχνά, γιατί τότε δουλεύουμε πιο εύκολα με τις ρίζες. Ισχύει η ακόλουθη σχέση:

$$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$$

Αν έχουμε την n-οστή ρίζα του a, είναι το ίδιο σαν να υψώναμε το a στο 1/n. Αυτό μπορεί να σου χρειαστεί και όταν πρέπει να εισαγάγεις κάπου ρίζα μεγαλύτερης τάξης από τη δεύτερη. Συχνά αυτό δεν γίνεται απευθείας, αλλά μπορείς να βάλεις στον εκθέτη κλάσμα. Αν θέλεις να σχεδιάσεις τη γραφική παράσταση της τέταρτης ρίζας, σχεδίασε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης

$$f(x)=x^{1/4}.$$

Πιο συχνά χρησιμοποιείται η μετατροπή της τετραγωνικής ρίζας:

$$\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$$

Τύποι για τις ρίζες

Επειδή η ρίζα μετατρέπεται εύκολα σε δύναμη, οι παραστάσεις με ρίζα κληρονομούν τους τύπους για τις γενικές δυνάμεις. Ισχύουν λοιπόν οι ακόλουθες σχέσεις:

$$\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}a,b\ge 0$$

$$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}a\ge 0,b>0$$

$$\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n\cdot m]{a}$$

$$\sqrt[n]{a^k}=a^{\frac{k}{n}}a>0$$

Ταυτόχρονα ισχύουν αυτές οι βασικές σχέσεις:

$$\sqrt[n]{0}=0$$

$$\sqrt[n]{1}=1$$

$$\sqrt[1]{a}=a$$

Εξαγωγή παράγοντα από τη ρίζα

Η εξαγωγή παράγοντα από τη ρίζα είναι μια τεχνική που χρησιμοποιείται για την απλοποίηση των ριζών και αξιοποιεί έναν από τους προηγούμενους τύπους:

$$\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}a,b\ge 0$$

Ορισμένες παραστάσεις κάτω από τη ρίζα μπορούμε να τις αναλύσουμε σε γινόμενο, στη συνέχεια να τις γράψουμε ως δύο ρίζες και τέλος να υπολογίσουμε τη ρίζα της μίας από αυτές. Ένα τυπικό παράδειγμα μπορεί να είναι το εξής:

$$\sqrt{4x}$$

Αυτή την παράσταση μπορούμε σύμφωνα με τον προηγούμενο τύπο να την ξαναγράψουμε έτσι:

$$\sqrt{4x}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{x}=$$

Και τώρα μπορούμε να υπολογίσουμε τη ρίζα του τέσσερα:

$$=2\cdot \sqrt{x}$$

Παρόμοια μπορούμε να ξαναγράψουμε και έναν συνηθισμένο αριθμό, αν θέλουμε να διατηρήσουμε την ακριβή μορφή. Ένα παράδειγμα:

$$\sqrt{18}=\sqrt{9}\cdot \sqrt{2}=3\sqrt{2}$$