Πολλαπλασιασμός
Ο πολλαπλασιασμός είναι μια βασική αριθμητική πράξη που συναντάμε συχνά.
Τι είναι ο πολλαπλασιασμός
Την πράξη του πολλαπλασιασμού τη συμβολίζουμε είτε με τελεία στο μέσο της γραμμής είτε με σταυρό. Αν θέλαμε να γράψουμε τρεις φορές το επτά, θα το γράφαμε ως 3 · 7 ή 3 × 7. Μερικές φορές αντί για το σύμβολο του σταυρού χρησιμοποιείται το απλό γράμμα x (χι): 3 x 7.
Τον πολλαπλασιασμό φυσικών αριθμών, δηλαδή των αριθμών 1, 2, 3, …, μπορούμε εύκολα να τον μετατρέψουμε σε πρόσθεση. Ας πάρουμε για παράδειγμα το 4 · 6 = ?, τέσσερις φορές το έξι. Στην καθημερινή γλώσσα θα μπορούσαμε να το πούμε έτσι: «πήγαινε τέσσερις φορές στον Γιάννη και κάθε φορά δώσε του έξι χαστούκια». Πόσα χαστούκια θα του δώσουμε συνολικά; Την πρώτη φορά του δίνουμε έξι χαστούκια, τη δεύτερη επίσης, την τρίτη επίσης και την τέταρτη επίσης. Συνολικά του δώσαμε 6 + 6 + 6 + 6 = 24 χαστούκια. Για να μην χρειάζεται να γράφουμε κάθε φορά τόσους ίδιους αριθμούς προς πρόσθεση, εισήχθη ο πολλαπλασιασμός, οπότε όταν θέλουμε να προσθέσουμε τέσσερα εξάρια, αντί για 6 + 6 + 6 + 6 μπορούμε να γράψουμε απλώς 4 × 6.
Πρόσεξε ότι δεν έχει σημασία αν προσθέσουμε τέσσερα εξάρια ή έξι τεσσάρια. Παίρνουμε πάντα το ίδιο αποτέλεσμα.
Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού το λέμε γινόμενο, οπότε λέμε «το γινόμενο των αριθμών 4 και 6 είναι 24», ή «το γινόμενο 4 επί 6 είναι 24». Οι αριθμοί που πολλαπλασιάζουμε, σε αυτή την περίπτωση οι αριθμοί 4 και 6, λέγονται παράγοντες.
Γραφική παράσταση του πολλαπλασιασμού
Γραφικά μπορούμε να παραστήσουμε τον πολλαπλασιασμό ως εμβαδόν ορθογωνίου. Θα μείνουμε στο παράδειγμα 4 · 6. Φτιάχνουμε ένα ορθογώνιο, που έχει τη μία πλευρά μήκους 4 και την άλλη μήκους 6. Το ορθογώνιο θα μοιάζει έτσι:
Τώρα θα υπολογίσουμε το εμβαδόν αυτού του ορθογωνίου, δηλαδή θα μετρήσουμε όλα τα τετραγωνάκια που βρίσκονται μέσα σε αυτό.
Βλέπουμε ότι τα τετραγωνάκια είναι ακριβώς 24. Γιατί; Επειδή στοιβάξαμε τέσσερις φορές έξι τετραγωνάκια, το αποτέλεσμα είναι λοιπόν πάλι το άθροισμα 6 + 6 + 6 + 6 = 24.
Πολλαπλασιασμός με το μηδέν
Αν πολλαπλασιάσουμε οποιονδήποτε αριθμό με το μηδέν, το αποτέλεσμα θα είναι πάλι μηδέν. Η αιτιολόγηση είναι απλή: αν μείνουμε στα προηγούμενα παραδείγματα, είναι σαν να λέγαμε «μην πας ούτε μία φορά στον Γιάννη και δώσε του έξι χαστούκια». Ο Γιάννης αυτή τη φορά θα είναι ήσυχος, γιατί αν και πρέπει να φάει έξι χαστούκια, δεν πρέπει να τα φάει ούτε μία φορά.
Μπορεί να δειχθεί και γραφικά. Το σχήμα που παριστάνει το γινόμενο 5 · 0 θα έμοιαζε έτσι:
Επειδή ο δεύτερος παράγοντας έχει τιμή μηδέν, και η μία πλευρά του ορθογωνίου έχει μήκος μηδέν, οπότε το ορθογώνιο γίνεται ευθύγραμμο τμήμα, που δεν έχει κανένα εμβαδόν.
Προτεραιότητα του πολλαπλασιασμού
Ο πολλαπλασιασμός έχει προτεραιότητα έναντι της πρόσθεσης και της αφαίρεσης. Αυτό σημαίνει ότι όταν έχεις την άσκηση 2 + 3 · 4, πρώτα υπολογίζεις το γινόμενο 3 · 4 = 12 και μόνο μετά υπολογίζεις το άθροισμα. Έτσι, αφού υπολογίσουμε το γινόμενο, έχουμε 2 + 12 και αυτό ισούται με 14.
Αν υπολόγιζες πρώτα το άθροισμα, θα έβγαζες διαφορετικό αποτέλεσμα: 2 + 3 = 5 και μετά 5 · 4 = 20. Αυτό το αποτέλεσμα είναι λάθος.
Το ίδιο ισχύει και με την αφαίρεση, οπότε το 10 − 8 · 2 + 7 θα υπολογιζόταν σαν να υπήρχαν παρενθέσεις: 10 − (8 · 2) + 7. Δηλαδή: 10 − 16 + 7 = 1.
Πρόσεχε τις παγίδες που εμφανίζονται συχνά στο Facebook. Εκεί εμφανίζονται ασκήσεις του τύπου 1 + 1 + 1 · 0 = ?. Πολλοί βλέπουν πολλαπλασιασμό με το μηδέν και αμέσως γράφουν ότι το αποτέλεσμα είναι μηδέν, αλλά αυτό είναι λάθος αποτέλεσμα. Επειδή ο πολλαπλασιασμός έχει προτεραιότητα, αυτή η άσκηση είναι ισοδύναμη με την άσκηση 1 + 1 + (1 · 0) = ?.
Εδώ πρώτα υπολογίζουμε την παρένθεση: 1 + 1 + 0 = ? και τώρα το προσθέτουμε: 1 + 1 + 0 = 2. Το σωστό αποτέλεσμα είναι 2, όχι 0.
Το πιο ύπουλο είναι ότι αν έχεις έναν πιο απλό υπολογιστή τσέπης, κι αυτός θα βγάλει αποτέλεσμα μηδέν. Γιατί; Επειδή στους απλούς υπολογιστές τσέπης δεν δίνεις ολόκληρη την παράσταση, τη δίνεις σταδιακά και ο υπολογιστής δουλεύει με ένα ενδιάμεσο αποτέλεσμα. Αν πληκτρολογήσεις σε έναν τέτοιο υπολογιστή 1 + 1 + 1 · 0, ο υπολογιστής πρώτα θα υπολογίσει 1 + 1 = 2, μετά θα υπολογίσει 2 + 1 = 3, επειδή θυμάται μόνο το ενδιάμεσο αποτέλεσμα 2, και στο τέλος θα υπολογίσει 3 · 0 = 0. Ο υπολογιστής τσέπης δηλαδή στην πραγματικότητα υπολόγισε την άσκηση (((1 + 1) + 1) · 0).
Κάποιοι υπολογιστές τσέπης ξέρουν να χειρίζονται την προτεραιότητα, κάποιοι επιτρέπουν να δώσεις ολόκληρη την άσκηση μονομιάς και μετά την υπολογίζουν σωστά. Αν ο δικός σου δεν μπορεί, να το θυμάσαι.
Για την προτεραιότητα του πολλαπλασιασμού μπορείς να διαβάσεις ξεχωριστό άρθρο.
Προπαίδεια
Για τους επόμενους υπολογισμούς είναι χρήσιμο να θυμόμαστε ολόκληρη την προπαίδεια, δηλαδή όλα τα πολλαπλάσια των αριθμών μικρότερων από 11:
Πρώτα η προπαίδεια από το ένα έως το πέντε:
Και τώρα από το έξι έως το δέκα:
Κεφάλαια: Πολλαπλασιασμός, Κάθετος πολλαπλασιασμός, Πολλαπλασιασμός αρνητικών αριθμών
