Ensimmäisen asteen yhtälö

Ensimmäisen asteen yhtälö on yhtälö, jonka voi muokata muotoon ax + b = 0, missä a ≠ 0. Konkreettinen esimerkki voisi olla vaikkapa tämä: 2x + 4 = 0. Tämän yhtälön ratkaisu on luku −2, minkä voi melko loogisesti päätellä päässään. Jos luvut olisivat vähän suurempia, päättely ei enää olisi yhtä helppoa, joten tarvitaan konkreettisempi menettely.

Ensimmäisen asteen yhtälön yleinen muoto

Tarkemmin sanottuna kyse on yhtälöstä, jossa on yksi tuntematon x ja jonka voi yhtäpitävillä muunnoksilla muuttaa muotoon ax + b = 0, missä a ≠ 0. Tuntematonta ei ole korotettu potenssiin, siitä ei ole otettu juurta tms. Yhtälöt, joissa tuntematon on murtoluvun nimittäjässä, voi muuttaa tähän muotoon vain sillä ehdolla, että nimittäjä ei ole nolla. Siksi ne ratkaistaan erikseen, ks. ensimmäisen asteen yhtälö, jonka nimittäjässä on tuntematon. Katso esimerkkejä erilaisista ensimmäisen asteen yhtälöistä:

$$\begin{array}{rcl}2x+7& =& 0\\ x-2& =& 74\\ (x+3)-(7x\cdot 3)& =& -12x\\ \frac{x}{2}+\frac{3x}{72}& =& x\cdot \frac{45}{8}+1\end{array}$$

Kuten näet, ensimmäisen asteen yhtälö voi näyttää hyvin erilaiselta. Jotta ne olisi helppo ratkaista, ne on ensin yhdistettävä yhteen muotoon, jota kutsutaan yleiseksi muodoksi:

$$ax+b=0,$$

missä x on tuntematon ja symbolit a ja b ovat mitä tahansa reaalilukuja, joita kutsutaan yhtälön kertoimiksi. Luku a ei saa olla nolla, eli a ≠ 0. Lauseketta ax kutsutaan ensimmäisen asteen termiksi ja lauseketta b vakiotermiksi.

Ensimmäisen asteen yhtälöä ratkaistaessa ei selvitä ilman yhtäpitäviä muunnoksia, eli muunnoksia, jotka eivät muuta yhtälön ratkaisuja. Ilman niitä monimutkaisempaa yhtälöä ei voi ratkaista. Yhtälön voi muokata yleiseen muotoon joko muokkaamalla yhtälössä esiintyviä lausekkeita tai juuri yhtälön yhtäpitävillä muunnoksilla.

Palataan yllä oleviin esimerkkeihin. Ensimmäinen yhtälö, 2x + 7 = 0, on jo yleisessä muodossa, joten kertoimet nähdään heti: a = 2 ja b = 7. Toisen yhtälön, x − 2 = 74, kanssa se ei ole yhtä helppoa. Yhtäpitävällä muunnoksella lisätään molemmille puolille luku −74 (eli vähennetään molemmilta puolilta luku 74) ja saadaan x − 76 = 0. Tämä on jo yleisessä muodossa, kertoimina a = 1 ja b = −76.

Kolmas yhtälö on vielä kaukana yleisestä muodosta, mutta senkin kanssa selvitään. Ensin ”tehdään” oikealle puolelle nolla: lisätään molemmille puolille lauseke 12x. Oikea puoli nollautuu, koska (−12x) + 12x = 0. Koko yhtälö on silloin seuraavanlainen:

$$(x+3)-(7x\cdot 3)+12x=0$$

Nyt on enää poistettava sulut ja laskettava yhteen x:n sisältävät termit.

$$\begin{array}{rcl}(x+3)-(7x\cdot 3)+12x& =& 0\\ x+3-21x+12x& =& 0\\ -8x+3& =& 0\end{array}$$

Tämä ensimmäisen asteen yhtälö on yleisessä muodossa ja sen kertoimet ovat a = −8 ja b = 3.

Viimeisestä yhtälöstä on päästävä eroon murtoluvuista. Kerrotaan siksi koko yhtälö luvulla 72, joka on jaollinen kaikilla nimittäjillä:

$$72\cdot \frac{x}{2}+72\cdot \frac{3x}{72}=72x\cdot \frac{45}{8}+72\cdot 1$$

Supistetaan nyt murtoluvut:

$$36x+3x=9x\cdot 45+72$$

Vasemmalla puolella lasketaan yhteen, oikealla kerrotaan:

$$39x=405x+72$$

Viimeisenä vaiheena vähennetään molemmilta puolilta 405x ja 72, ja yhtälö on yleisessä muodossa:

$$-366x-72=0$$

Kertoimiksi saatiin siis a = −366 ja b = −72.

Miten ensimmäisen asteen yhtälö ratkaistaan

Kun ensimmäisen asteen yhtälö on yleisessä muodossa, se ratkeaa jo helposti. Katsotaan esimerkkiä: 3x − 18 = 0. Mistä luvusta pitää vähentää luku 18, jotta saadaan nolla? No tietysti luvusta 18. Jotta lauseke 3x − 18 olisi nolla, lausekkeen 3x täytyy olla 18, jolloin saadaan 18 − 18 = 0. Milloin lauseke 3x on 18? Täsmälleen silloin, kun x = 6, koska 3 · 6 = 18.

Miten tästä johdetaan yleinen menettely? Ensin on selvitettävä, minkä arvon ensimmäisen asteen termin ax pitää saada. Se selviää siirtämällä vakiotermi yhtälön oikealle puolelle eli lisäämällä yhtälöön −b. Näin saadaan yhtälö muodossa ax + b − b = −b, mikä on sama asia kuin ax = −b. Edellisen esimerkin tapauksessa saataisiin 3x − 18 + 18 = 18 eli 3x = 18. Älä unohda, että luku b oli b = −18, joten kun lisätään −b, lisätään −(−18), ja se on +18.

Yhtälö on muodossa ax = −b. Miten x saadaan suoraan? Esimerkissä etsittiin sellaista x:ää, että kun se kerrotaan kolmella, saadaan 18. Mitä oikeastaan tehtiin? Laskettiin 18/3 = 6. Oikean puolen lauseke (−b) siis jaettiin arvolla a, esimerkissä kolmella. Yhtälöstä ax = −b saadaan siis

$$x=\frac{-b}{a}=-\frac{b}{a}$$

Koko menettely sovellettuna ensimmäiseen esimerkkiin näyttää tältä:

$$\begin{array}{rcl}3x-18& =& 0/+18\\ 3x& =& 18/:3\\ x& =& 6\end{array}$$

Geometrinen merkitys

Kun ensimmäisen asteen yhtälö muokataan yleiseen muotoon, vasemmalle puolelle saadaan lineaarinen funktio. Lineaarisen funktion kuvaaja on suora. Koska ensimmäisen asteen yhtälön yleinen muoto on ax + b = 0, tämän yhtälön ratkaisuja ovat kaikki pisteet, joissa suora (lineaarisen funktion kuvaaja) leikkaa x-akselin (joka on samalla funktion f(x) = 0 eli oikean puolen kuvaaja).

Esimerkiksi saatiin selville, että yhtälön 3x − 18 = 0 ratkaisu on x = 6. Mitä se tarkoittaa? Että funktion 3x − 18 kuvaaja leikkaa x-akselin kohdassa x = 6.

Yritetään ratkaista yhtälö 5x + 2 = 2x − 7 graafisesti. Miten voidaan edetä? Yhtälön voi muokata yleiseen muotoon: lisätään −2x, jolloin saadaan 3x + 2 = −7, ja sen jälkeen lisätään 7: 3x + 9 = 0. Nyt piirretään lineaarisen funktion y = 3x + 9 kuvaaja ja selvitetään, missä kohdassa se leikkaa x-akselin.

Toinen tapa on olla muokkaamatta yhtälöä lainkaan ja piirtää yhtälön molemmilla puolilla olevien funktioiden kuvaajat. Eli piirretään funktioiden f(x) = 5x + 2 ja g(x) = 2x − 7 kuvaajat.

Nämä kaksi suoraa leikkasivat yhdessä pisteessä, jota merkitään kirjaimella A. Mikä on tämän pisteen A x-koordinaatti? Jälleen x = −3. Yhtälön 5x + 2 = 2x − 7 graafinen ratkaisu on siis vasemman ja oikean puolen funktioiden kuvaajien leikkauspisteen x-koordinaatti.

Ratkaistut esimerkit

Ensimmäinen esimerkki: Yritetään ratkaista yhtälö 7x − 14 = 0. Tilanne on yksinkertainen, yhtälö on yleisessä muodossa, joten sovelletaan vain menettelyä:

$$\begin{array}{rcl}7x-14& =& 0/+14\\ 7x& =& 14/:7\\ x& =& 2\end{array}$$

Toinen esimerkki: Ratkaise yhtälö 2x + 10 = 0. Yhtälö on jälleen yleisessä muodossa, mutta muista, että b on positiivinen, joten oikealle puolelle tulee muunnoksen jälkeen negatiivinen luku:

$$\begin{array}{rcl}2x+10& =& 0/-10\\ 2x& =& -10/:2\\ x& =& -5\end{array}$$

Kolmas esimerkki: Ratkaise yhtälö 15 − 3x = 0. Yhtälö on melkein yleisessä muodossa, tuntematon x on vain siirrettävä ensimmäiseksi. Silloin yhtälön muoto on −3x + 15 = 0. Muista jälleen, että ensimmäisen asteen termin edessä on miinus, mitä ei ole aiemmin ollut. Muunnokset ovat kuitenkin täysin samat:

$$\begin{array}{rcl}-3x+15& =& 0/-15\\ -3x& =& -15/:(-3)\\ x& =& 5\end{array}$$

Tehtävän voi ratkaista myös hieman toisin, pidemmällä tavalla. Sen sijaan että yhtälö jaettaisiin suoraan luvulla −3, yhtälön voi ensin kertoa luvulla −1, jolloin molemmista miinuksista päästään eroon. Sen jälkeen yhtälön voi jakaa kolmella:

$$\begin{array}{rcl}-3x+15& =& 0/-15\\ -3x& =& -15/\cdot (-1)\\ 3x& =& 15/:3\\ x& =& 5\end{array}$$

Neljäs esimerkki: Ratkaise ensimmäisen asteen yhtälö

$$3+\frac{x}{4}=\frac{x}{2}$$

Tämä yhtälö on jo hieman monimutkaisempi, koska siinä on murtolukuja. Ensin on päästävä eroon näistä murtoluvuista. Paras tapa on kertoa koko yhtälö kaikkien nimittäjien pienimmällä yhteisellä jaettavalla. Nimittäjiä on kaksi, 4 ja 2. Pienin yhteinen jaettava on 4. Jos laskeminen ei huvita, koko yhtälön voi kertoa kaikkien nimittäjien tulolla eli 4 · 2 = 8, mutta se ei ole suositeltava menettely, koska vaikeutat itse omaa elämääsi seuraavassa vaiheessa. Kun yhtälö kerrotaan neljällä, murtoluvuista päästään eroon supistamalla ne ja sieventämällä:

$$\begin{array}{rcl}3+\frac{x}{4}& =& \frac{x}{2}/\cdot 4\\ 4\cdot 3+4\cdot \frac{x}{4}& =& 4\cdot \frac{x}{2}\\ 12+\frac{4x}{4}& =& \frac{4x}{2}\\ 12+x& =& 2x\end{array}$$

Nyt yhtälö muunnetaan yleiseen muotoon: x − 12 = 0, ja tästä yhtälöstä nähdään jo, että x = 12.

Viides esimerkki / sanallinen tehtävä: Olkoon kaksi veljeä, Leevi ja Onni. Onni meni töihin heti lukion jälkeen, kun taas Leevi meni vielä yliopistoon, jossa hän opiskeli yhteensä viisi vuotta. Onni sai joka kuukausi palkkaa 2 500 euroa. Vaikka Leevi valmistui vapaa-ajan tutkimuksen alalta erikoistumisalanaan makoilu aurinkotuolissa, hän onnistui saamaan työpaikan valtionhallinnosta, jossa hän sai 3 500 euroa kuukaudessa. Kuinka kauan kestää, ennen kuin Leevi on ansainnut yhteensä yhtä paljon rahaa kuin Onni? Selvyyden vuoksi: viidessä vuodessa Onni ansaitsi 5 · 12 · 2500 euroa, kun taas Leevillä ei viiden vuoden jälkeen ole yhtään mitään. Kuinka monen kuukauden kuluttua nämä määrät ovat yhtä suuret?

Tehtävänannosta voidaan muodostaa ensimmäisen asteen yhtälö näin: muuttuja x esittää etsittyä kuukausien määrää, ja x = 0 tarkoittaa nolla kuukautta Leevin valmistumisesta.

Ensin muodostetaan funktio, joka kuvaa Leevin tuloja kuukausien määrän funktiona. Jos siis esimerkiksi halutaan tietää Leevin tulot kuuden kuukauden jälkeen, lasketaan yksinkertaisesti, että 3500 · 6 = 21 000 euroa. Yleisesti voidaan kirjoittaa, että x kuukauden jälkeen Leevi on ansainnut yhteensä 3500 · x euroa.

Onnin kohdalla on samankaltaista: 2500 · x, mutta siihen on vielä lisättävä summa, jonka hän ansaitsi Leevin opiskellessa. Leevi opiskeli viisi vuotta, joten Onni ansaitsi opiskeluaikana 5 · 12 · 2500 euroa. Koko lauseke Onnille on siis: 5 · 12 · 2500 + 2500 · x.

Nämä funktiot laitetaan yhtälöön, koska halutaan tietää, millä x:n arvolla nämä ansiot ovat yhtä suuret:

$$5\cdot 12\cdot 2500+2500\cdot x=3500\cdot x$$

Yhtälö muunnetaan yksinkertaisesti siirtämällä kaikki x:t yhdelle puolelle:

$$1000x=5\cdot 12\cdot 2500$$

Ja lopuksi jaetaan vain luvulla 1000:

$$x=5\cdot 12\cdot 2,5=150$$

150 kuukauden kuluttua kummallakin on yhtä paljon rahaa. Onni ansaitsi Leevin opiskeluaikana kokonaiset 5 · 12 · 2500 = 150 000 euroa, ja seuraavien 150 kuukauden aikana hän ansaitsi vielä 2500 · 150 = 375 000 euroa, mikä on yhteensä 150 000 + 375 000 = 525 000 euroa. Leevi työskenteli vain nämä 150 kuukautta ja ansaitsi sinä aikana 3500 · 150 = 525 000 euroa. Nähdään, että viiden opiskeluvuoden ja vielä 150 kuukauden jälkeen kumpikin on todella ansainnut yhtä paljon.

Lisää esimerkkejä

Ratkaise seuraava ensimmäisen asteen yhtälö:

$$2\cdot (x-7)=6$$

Ensin kerrotaan sulut auki:

$$2x-14=6$$

Nyt vasemmalle puolelle jätetään tuntematonta sisältävä lauseke ja kaikki muu siirretään oikealle puolelle:

$$2x=20$$

… ja lopuksi jaetaan kahdella.

$$x=10$$

Ratkaise yhtälö

$$3\cdot (3-x)+5\cdot (x-2)=0$$

Kerrotaan jälleen ensin sulut auki:

$$9-3x+5x-10=0$$

Lasketaan yhteen, mikä voidaan laskea yhteen, ja siirretään muuttujat vasemmalle puolelle ja loput oikealle puolelle:

$$\begin{array}{rcl}9-3x+5x-10& =& 0\\ 2x-1& =& 0\\ 2x& =& 1\end{array}$$

Lopuksi jaetaan koko yhtälö kahdella:

$$x=\frac{1}{2}$$