Reaaliluvut
Reaaliluvut ovat kaikki luvut, jotka voimme kirjoittaa päättyvän tai äärettömän desimaalikehitelmän avulla. Voimme sanoa, että reaaliluvut saadaan rationaalilukujen ja irrationaalilukujen joukon yhdisteenä.
Merkintä ja merkitys
Reaalilukuja merkitään kirjaimella R, jossa on yleensä kaksinkertainen pystyviiva: ℝ.
Kun kuvittelet äärettömän lukusuoran, reaaliluvut vastaavat kaikkia mahdollisia etäisyyksiä kahden suoralta löytyvän pisteen välillä.
Reaaliluvut sisältävät kaikki luonnolliset luvut, kokonaisluvut, rationaaliluvut ja irrationaaliluvut.
Useimpien matematiikassa tavallisesti käsiteltävien funktioiden määrittelyjoukko on juuri reaalilukujen joukko (esimerkiksi sini ja kosini, lineaarinen funktio) tai jokin sen yhtenäinen osajoukko (esimerkiksi logaritmi).
Esimerkkejä reaaliluvuista: 1, −3, 0,126, −42,47, e, 0, −2π.
Ominaisuudet
- Reaaliluvut muodostavat äärettömän ylinumeroituvan joukon.
- Reaaliluvut ovat suljettuja yhteenlaskun, vähennyslaskun, kertolaskun ja jakolaskun suhteen. Kun kerromme kaksi reaalilukua, saamme taas reaaliluvun.
- Reaaliluku on joko algebrallinen, eli jonkin kokonaislukukertoimisen polynomin nollakohta, tai transkendenttinen, eli se ei ole minkään sellaisen polynomin nollakohta.
- Jokaisella reaaliluvulla on itseisarvo, joka kuvaa etäisyyttä lukusuoran origosta.
- Jokaisella ei-negatiivisella reaaliluvulla on neliöjuuri, joka on myös reaaliluku. Sen sijaan millään negatiivisella reaaliluvulla ei ole neliöjuurta reaalilukujen joukossa.
