Ääretön

Ääretön on abstrakti käsite, jota ei oikeastaan voi edes kuvitella. Äärettömällä ei ole loppua, siitä myös sen nimi, mutta yleisellä äärettömällä ei ole myöskään alkua (sitä voi kuitenkin tarkentaa, esimerkiksi puolisuora on myös ääretön, mutta sillä on alku). Ääretön merkitään yleensä niin sanotulla ”makaavalla kahdeksikolla” – ∞.

Laskemme äärettömillä

Ääretön on osittain samanlainen kuin nolla, joka on monessa suhteessa erikoinen ja jota koskevat erikoiset säännöt. Esimerkiksi nollalla ei voi jakaa, sen tietää luultavasti jokainen pieni lapsi (tiedätkö muuten tämän vitsin? Mikä on paras tekosyy, kun matematiikan läksyt ovat tekemättä? ”Opettaja, aloin vahingossa jakaa nollalla ja vihko paloi poroksi…” ;o)).

Aivan kuten mikä tahansa luku kertaa nolla on nolla, pätee myös, että mikä tahansa positiivinen luku kerrottuna äärettömällä ja mikä tahansa luku lisättynä äärettömään on ääretön. Jos äärettömästä vähennät kuinka suuren luvun tahansa, jäljelle jää aina ääretön. Samoin jos yrität jakaa äärettömän. Ääretön on yksinkertaisesti niin suuri, että vaikka vähentäisit siitä joka sekunti miljoonia, jäljelle jää silti aina ääretön. Joskus se on hieman vaikea ymmärtää, esimerkiksi otetaan tämä pieni yhtälö: ∞ + 1 = ∞. Pätee vai eikö päde?

Logiikka sanoo, että yhtälön vasen puoli on suurempi, eli jos äärettömään lisään ykkösen, koko lausekkeen täytyy olla suurempi kuin pelkkä ääretön. Ei tarvitse :-). Kuten jo sanoin, ääretön plus mikä tahansa on ääretön. Siis ääretön plus yksi on ääretön, ja ääretön on yhtä suuri kuin ääretön. Yhtälö pätee.

Toinenkin tie löytyy raja-arvojen kautta. Otetaan murtoluku 1/x ja lasketaan oikeanpuoleinen raja-arvo, kun x→0⁺, ja oletetaan, ettei vihkomme palanut. Tämä raja-arvo olisi ääretön. Jos tähän lausekkeeseen lisäät ykkösen, saat lausekkeen (1+x)/x, ja raja-arvo, kun x→0⁺, olisi jälleen ääretön.

Hauskuus alkaa, kun yhdistelemme ääretöntä enemmän. Esimerkiksi mitä on ääretön miinus ääretön? Logiikka sanoo, että vähennämme toisistaan kaksi yhtä suurta lukua, joten tulos on nolla. Sanoin myös, että jos äärettömästä vähennetään mikä tahansa luku, tulos on taas ääretön. Toisaalta jos mistä tahansa luvusta vähennetään ääretön, tulos on miinus ääretön. Miten tästä nyt selvitään? Kaikki tulokset ovat teoriassa mahdollisia. Matematiikan mukaan lauseke ∞ − ∞ ei ole yhtä minkään tietyn kanssa, se on määrittelemätön eli epämääräinen muoto. Se on samanlainen tapaus kuin yrittäisi jakaa nollalla, sillä ei yksinkertaisesti ole mieltä. Jos törmäät tällaiseen epämääräiseen muotoon, sinun täytyy muokata lauseke jotenkin (joissakin epämääräisten muotojen lajeissa voi käyttää esimerkiksi l’Hospitalin sääntöä [lausutaan ”lopitalin sääntö”]).

Muita määrittelemättömiä eli epämääräisiä muotoja:

• ∞ − ∞
• ∞/∞
• 0/0
• 0 · ∞
• 0⁰
• ∞⁰
• 1^∞

Etumerkkien säännöt kuitenkin pätevät, esimerkiksi −1 · ∞ on yhtä kuin miinus ääretön.

Haluatko tulla hulluksi?

Tartu sitten joukko-oppiin ja laske, kumpi joukko on suurempi. Esimerkiksi onko suurempi parillisten vai parittomien lukujen joukko? Parillisten vai positiivisten kokonaislukujen? Positiivisten kokonaislukujen vai kokonaislukujen? Parillisten vai kokonaislukujen? Positiivisten kokonaislukujen vai rationaalilukujen? Vastaus on, että kaikki ovat yhtä suuria. Vaikka se voi tuntua oudolta (kokonaislukuja täytyy olla kuitenkin enemmän kuin parittomia lukuja), ne ovat yhtä suuria joukkoja. Sen sijaan reaalilukujen joukko on suurempi kuin mainitut joukot. Siitä ei ota selvää kukaan ;-)