Kokonaisluvut

Kokonaisluvut ovat lukuja, joilla ei ole desimaaliosaa. Niihin kuuluvat luonnolliset luvut (nolla mukaan lukien) ja niiden vastaluvut (negatiiviset luvut).

Ominaisuudet

Kokonaisluvut muodostavat joukon, johon kuuluvat luvut …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … Joukkoa merkitään kirjaimella Z, jonka keskiviiva on kaksinkertainen: ℤ. Merkintä tulee saksan sanasta ”Zahlen” (luvut). Kokonaisluvut muodostavat äärettömän ja numeroituvan joukon.

Kokonaisluvuilla on esimerkiksi seuraavat ominaisuudet:

1. Ne ovat suljettuja yhteenlaskun ja kertolaskun suhteen, aivan kuten luonnolliset luvut. Jos siis laskemme yhteen kaksi kokonaislukua, saamme taas kokonaisluvun.
2. Toisin kuin luonnolliset luvut, kokonaisluvut ovat suljettuja myös vähennyslaskun suhteen. Luonnolliset luvut eivät olleet, koska kahden luonnollisen luvun erotus saattoi olla negatiivinen. Kokonaislukujen kohdalla se ei haittaa, sillä negatiiviset luvut kuuluvat joukkoon.
3. Kuten luonnolliset luvut, kokonaisluvut eivät ole suljettuja jakolaskun suhteen. Jakolaskun tulos voi edelleen olla jokin muu kuin kokonaisluku.
4. Jokaisella kokonaisluvulla c on vastaluku −c. Luvun 10 vastaluku on −10 ja luvun 55 vastaluku on −55. Sama pätee negatiivisille luvuille: luvun −13 vastaluku on 13. Kun kokonaisluku c ja sen vastaluku −c lasketaan yhteen, saadaan nolla: c + (−c) = 0. Siksi nollan vastaluku on nolla.

Parilliset ja parittomat luvut

Kokonaisluvut voidaan jakaa parillisiin ja parittomiin lukuihin. Parilliset luvut ovat kahdella jaollisia lukuja, esimerkiksi 2, −4, −8, 40, 124 jne. Parittomia lukuja jaettaessa kahdella jakojäännös on yksi, eli niitä ovat esimerkiksi −1, 1, 5, 19, −41 jne. Huomaa, että myös negatiiviset luvut ovat parillisia tai parittomia (luku −5 on todella pariton) ja että nolla on parillinen luku.

Yhteenlaskun ominaisuudet: kun lasket yhteen kaksi parillista lukua, saat taas parillisen luvun. Muut ominaisuudet näkyvät seuraavasta taulukosta:

$$\begin{array}{rcl}\text{parillinen}+\text{parillinen}& =& \text{parillinen}\\ \text{parillinen}+\text{pariton}& =& \text{pariton}\\ \text{pariton}+\text{pariton}& =& \text{parillinen}\end{array}$$

Vastaava taulukko kertolaskulle:

$$\begin{array}{rcl}\text{parillinen}\cdot \text{parillinen}& =& \text{parillinen}\\ \text{parillinen}\cdot \text{pariton}& =& \text{parillinen}\\ \text{pariton}\cdot \text{pariton}& =& \text{pariton}\end{array}$$

Jakolasku jakojäännöksellä

Myös kokonaislukujen joukossa voimme luonnollisten lukujen tapaan määritellä jakolaskun jakojäännöksellä, mutta nyt on otettava huomioon negatiiviset luvut. Perusmääritelmä on tällä kertaa seuraava:

$$a=q\cdot b+r,a,q\in \mathbb{Z},b\in \mathbb{Z}-\left\{0\right\},0\le r<|b|$$

Tässä lausekkeessa jaamme a:b, luku q on osamäärä ja luku r on jakojäännös. Luku b ei saa olla nolla, koska nollalla ei voi jakaa. Jakojäännöksen täytyy olla ei-negatiivinen ja pienempi kuin luvun b itseisarvo, mikä varmistaa, että osamäärä ja jakojäännös määräytyvät yksikäsitteisesti.

Miltä tällainen jakolasku näyttäisi? Yritetään jakaa −21:4. Silloin luvut olisivat seuraavat:

$$-21=-6\cdot 4+3$$

Osamäärä on −6 ja jakojäännös on 3. Voi yllättää, että tulos poikkeaa siitä, mikä saataisiin, jos kaikki luvut olisivat positiivisia:

$$21=5\cdot 4+1$$

Tässä osamäärä olisi 5 ja jakojäännös 1. Ero johtuu nimenomaan negatiivisista luvuista. Positiivisilla luvuilla etsimme ensin suurimman kokonaisluvun, joka ei ole suurempi kuin 21 ja joka on jaollinen neljällä. Se on luku 20. Siksi jaamme 20:4 = 5 ja saamme viitosen. Jakojäännös saadaan erotuksena 21 − 20.

Negatiivisilla luvuilla toimitaan samoin. Etsimme suurimman luvun, joka ei ole suurempi kuin −21 ja joka on jaollinen luvulla 4. Luku −20 on kuitenkin suurempi kuin −21. Siksi suurin luku, joka ei ole suurempi kuin −21 ja joka on jaollinen luvulla 4, on −24. Jakojäännös saadaan taas erotuksena −21 − (−24) = −21 + 24 = 3.

Katso myös

• Jaollisuus kahdella
• Jaollisuus kolmella
• Jaollisuus neljällä
• Jaollisuus viidellä
• Jaollisuus kuudella
• Jaollisuus seitsemällä
• Jaollisuus kahdeksalla
• Jaollisuus yhdeksällä
• Jaollisuus kymmenellä
• Jaollisuus yhdellätoista

Linkit

• Wikipedia