✖

Neliöksi täydentäminen

Neliöksi täydentämisen avulla voimme esittää toisen asteen polynomifunktion ax2 + bx + c muodossa (x + m)2 + n.

Neliöksi täydentämisen algoritmi

Algoritmi hyödyntää tavallista sulkulausekkeen neliön kaavaa:

(a+b)2=a2+2ab+b2

Menettely on seuraava. Oletetaan toistaiseksi, että a = 1. Kuvitellaan, että meillä on toisen asteen polynomifunktio f(x) = x2 + 6x + 1 ja haluamme muuntaa sen muotoon (x + m)2 + n. Määritetään ensin ensimmäisen sulkulausekkeen arvot: (x + m)2. Mikä luku meidän täytyy sijoittaa m:n paikalle? Kaavan mukaan täytyy päteä yhtäsuuruus (x + m)2 = x2 + 2mx + m2. Funktiossa f on x2, se on kunnossa. Mutta ensimmäisen asteen termin paikalla on 6x. Minkä arvon meidän täytyy valita m:ksi, jotta pätisi 6x = 2mx? Selvästi täytyy päteä m = b/2 = 6/2 = 3. Luvuksi m sijoitetaan siis aina toisen asteen funktion luvun b puolikas.

Saimme siis muodon (x + 3)2 + n. Jäljellä on määrittää luku n. Tiedämme jo, että (x + m)2 = x2 + 2mx + m2. Osa x2 + 2mx on haluttu, mutta lauseke m2 on ylimääräinen, sille ei ole vastinetta funktiossa f. Siksi vähennämme nykyisestä tuloksesta m2. Saamme muodon (x + m)2 − m2, joka kertomalla auki on x2 + 2mx + m2 − m2. Vähennyksen jälkeen jäljelle jää vain x2 + 2mx.

Funktiossa f on kuitenkin vielä vakiotermi c. Se vain lisätään. Saamme muodon (x + m)2 − m2 + c, kertomalla auki x2 + 2mx + m2 − m2 + c ja sieventämällä x2 + 2mx + c. Koska m = b/2, tämä lauseke on yhtä kuin x2 + bx + c, eli kun lauseke (x + m)2 − m2 + c kerrotaan auki, saamme takaisin alkuperäisen funktion, joten laskimme oikein. (Toistan, että a = 1, joten mikään ei puutu.)

Esimerkkifunktiolle f saamme neliöksi täydennetyn muodon (x + 3)2 − 9 + 1 = (x + 3)2 − 8. Voimme kokeilla kertoa sen takaisin auki:

(x+3)2−8=x2+6x+9−8=x2+6x+1

Neliöksi täydentämistä käytetään esimerkiksi silloin, kun haluat piirtää toisen asteen funktion kuvaajan.

Kun a ≠ 1

Jos meillä on funktio, jolle ei päde a = 1, toimimme niin, että koko funktiosta otetaan yhteinen tekijä a ulos ja jatketaan niin kuin jo osaamme. Esimerkki:

2x2+16x−12=0

Otetaan koko funktiosta kakkonen yhteiseksi tekijäksi:

2⋅(x2+8x−6)=0

Sulkujen sisällä olevan funktion osaamme jo täydentää neliöksi.

x2+8x−6=(x+4)2−16−6=(x+4)2−22

Sijoitamme tämän tuloksen edelliseen yhtälöön, ja saamme:

2⋅(x2+8x−6)=2((x+4)2−22)=2(x+4)2−44