Algebralliset luvut

Luku, joka on jonkin kokonaislukukertoimisen polynomin nollakohta, on algebrallinen luku. Mitä se käytännössä tarkoittaa? Voimme ottaa minkä tahansa luvun ja pelata sillä pienen matemaattisen pelin. Pelin tavoite on ottaa jokin luku x ja muuttaa se nollaksi, mutta käytössä on vain yhteenlasku, vähennyslasku, kertolasku ja potenssiin korotus, ja muokkauksissa saa käyttää vain kokonaislukuja. Esimerkeistä asia selviää.

Aloitetaan luvusta 42. Miten sen saisi muutettua nollaksi? Voimme vähentää siitä kokonaisluvun 42, ja saamme nollan (nollalla kertominen ei ole sallittua):

$42 - 42 = 0$

Koska luku 42 saatiin muutettua nollaksi, luku 42 on algebrallinen. Tämä oli aika triviaalia. Entä jokin murtoluku, vaikkapa $\frac{7}{3}$ ? Koska voimme käyttää vain kokonaislukuja, emme voi vähentää murtoluvusta $\frac{7}{3}$ saadaksemme nollan. Meidän on keksittävä jokin muu keino. Kerromme ensin murtoluvun kolmella:

$3 \cdot \frac{7}{3} = \frac{3 \cdot 7}{3} = 7$

Saimme kokonaisluvun, ja sen osaamme jo muuttaa nollaksi: vähennämme seitsemän. Voimme siis kirjoittaa

$3 \cdot \frac{7}{3} - 7 = 0$

ja sanoa, että seitsemän kolmasosaa on myös algebrallinen luku. Otetaan vielä monimutkaisempi luku, kahden neliöjuuri: $\sqrt{2}$ . Mikään kertolasku tai yhteenlasku ei auta, vaan ensin on päästävä eroon neliöjuuresta. Korotamme lausekkeen toiseen potenssiin:

${(\sqrt{2})}^{2} = 2$

Saimme kokonaisluvun, jonka osaamme muuttaa nollaksi, vähennämme kaksi:

${(\sqrt{2})}^{2} - 2 = 0$

Myös kahden neliöjuuri, joka on irrationaaliluku, on algebrallinen luku. Toistaiseksi näyttää siltä, että jokainen kokeilemamme luku on algebrallinen. Entä vaikkapa Neperin luku e? Sekin on irrationaalinen, eli sen desimaalikehitelmä on ääretön ja jaksoton, aivan kuten kahden neliöjuuren. Sen likiarvo on 2,71. Toisin kuin kahden neliöjuurta, sitä ei kuitenkaan voi sallituilla laskutoimituksilla muuttaa nollaksi. Vaikka lisäisimme Neperin lukuun jotakin, kertoisimme sen tai korottaisimme sen potenssiin, saisimme aina taas uuden irrationaaliluvun. Neperin luku ei siis ole algebrallinen luku, hurraa!

Samoin luku pii (3,14) ei ole algebrallinen.

Lukuja, jotka eivät ole algebrallisia, kutsutaan transkendenttisiksi.

Tarkempi määritelmä

Jokaista algebrallista lukua varten täytyy siis olla olemassa polynomi, jonka kertoimet ovat kokonaislukuja ja jonka nollakohta tämä algebrallinen luku on. Polynomin nollakohta on luku, jolla polynomin arvo on nolla. Kun palaamme edellä olleisiin esimerkkeihin, luvulle 42 saisimme yhtälön

$x - 42 = 0$

ja koska polynomin x − 42 nollakohta on juuri x = 42, luku 42 on algebrallinen. Rationaaliluvulle $\frac{7}{3}$ yhtälö olisi

$3 x - 7 = 0$

koska polynomin 3x − 7 nollakohta on juuri $x = \frac{7}{3}$ . Ja lopuksi kahden neliöjuurelle saisimme

$x^{2} - 2 = 0$

koska polynomin x² − 2 nollakohta on juuri kahden neliöjuuri. Neperin luvulle tai luvulle pii emme pysty muodostamaan mitään tällaista yhtälöä tai polynomia, koska ne ovat transkendenttisia lukuja eivätkä algebrallisia.

Esimerkkejä algebrallisista luvuista

Jokainen kokonaisluku on myös algebrallinen.
Jokainen rationaaliluku (murtoluku) on algebrallinen.
Irrationaaliluvut ovat jo monimutkaisempia. Kuten näimme, jotkin irrationaaliluvut ovat algebrallisia, kuten kahden neliöjuuri, mutta jotkin eivät ole, kuten Neperin luku.
Jokainen kokonaisluvun n:s juuri on algebrallinen.
Kultainen leikkaus on algebrallinen luku.

Linkit ja lähteet

« Edellinen: Reaaliluvut

Seuraava: Kompleksiluvut »