Lukuväli

Lukuvälejä käytetään matematiikassa paljon, ja ne esiintyvät lukemattomissa määritelmissä. Väli on pistejoukko, jota rajaavat kaksi päätepistettä. Lisäksi erotamme avoimet ja suljetut välit.

Perusteet

Käytämme välejä myös arkikielessä, esimerkiksi ”silmiesi väärästä väristä voit saada Euroopan unionilta sakkoa vaihteluvälillä 10 000–20 000 euroa”. Esimerkissä käytetään sanaa ”vaihteluväli”, mutta matemaattisesti kyseessä on lukuväli. Nyt tulee kuitenkin hankalia kysymyksiä: voitko saada sakkoa täsmälleen kymmenentuhatta euroa vai eikö vaihteluvälin päätepistettä lasketa mukaan? Kuinka tarkasti sakon voi valita? Voinko määrätä sakoksi 18 541,97 euroa? Vai voinko porrastaa vain esimerkiksi sadoittain? Eli joko 18 500 tai 18 600?

Kaiken ratkaisee matemaattinen merkintä. Siinä on sanottava kaksi olennaista asiaa: missä joukossa liikumme (esimerkin yhteydessä – sadoissa? tuhansissa? euroissa?) ja kuuluvatko päätepisteet väliin (voinko saada sakoksi juuri kymmenen- tai kaksikymmentätuhatta?).

Hyvä uutinen on, että valtaosassa matematiikan tapauksista haluamme välin olevan reaalilukujen joukossa, joten jos tapaat välin, jonka joukkoa ei ole mainittu, kyse on varmasti reaaliluvuista.

Lähtöjoukko meillä on jo, mutta miten ilmaistaan, haluammeko ottaa päätepisteet huomioon? Välit kirjoitetaan sulkeilla. Hakasulku, jonka kärjet osoittavat välin sisään ([ vasemmalla, ] oikealla), tarkoittaa, että kyseinen päätepiste kuuluu väliin, ja ulospäin käännetty hakasulku (] vasemmalla, [ oikealla) tarkoittaa, että päätepiste ei kuulu väliin. Tätä kutsutaan avoimuudeksi ja suljettuudeksi. Jos päätepiste kuuluu väliin, väli on suljettu, jos ei kuulu, väli on avoin.

Esimerkkejä

Seuraavassa esimerkkejä (kaikki reaalilukujen joukossa, ellei toisin sanota):

• [1, 2]   Suljettu väli yhdestä kahteen. Väliin kuuluvat kaikki ykkösen ja kakkosen väliset reaaliluvut, mukaan lukien ykkönen ja kakkonen.
• ]1, 2[   Avoin väli yhdestä kahteen. Väliin kuuluvat kaikki ykkösen ja kakkosen väliset reaaliluvut, mutta itse luvut yksi ja kaksi eivät kuulu siihen.
• [0, 1[   Väli on vasemmalta suljettu ja oikealta avoin. Väliin kuuluvat kaikki nollan ja ykkösen väliset luvut, mukaan lukien nolla itse, mutta ykkönen ei kuulu väliin.
• ]p, q]   Väli on vasemmalta avoin ja oikealta suljettu. Väliin kuuluvat kaikki lukujen p ja q väliset luvut, mukaan lukien luku q mutta lukuun ottamatta lukua p.
• [0, ∞[   Vasemmalta suljettu ja oikealta avoin väli. Jos välissä on ääretön, käytä siltä puolelta avointa väliä: äärettömällä ei ole mitään äärellistä päätepistettä, joten suljettu väli ei ole siinä mielekäs.
• [1, 5] ⊂ ℤ⁺   Tässä tulee muutos: emme työskentele reaalilukujen joukossa vaan positiivisten kokonaislukujen joukossa. Väli on suljettu molemmilta puolilta, ja välillä on yhteensä viisi lukua: 1, 2, 3, 4 ja 5.
• ]1, 5] ⊂ ℤ⁺   Sama tapaus kuin äsken, mutta väli on vasemmalta avoin, joten ykkönen ei kuulu väliin ja välin kaikki alkiot ovat: 2, 3, 4 ja 5.

Väli joukkona

Kuten näkyy, väli ei ole muuta kuin sen joukon osajoukko, jossa se on määritelty. Siksi välien kanssa voi työskennellä kuten joukkojen kanssa ja tehdä niille joukko-operaatioita. Esimerkiksi yhdiste voisi näyttää tältä:

$$[0,5]\cup [5,10]=[0,10]$$

Varo avoimia välejä, sillä niillä tämä yhtäsuuruus ei pätisi, koska viisi ei kuulu tulosväliin:

$$]0,5[\cup ]5,10[\ne ]0,10[$$

Oikein se voisi näyttää esimerkiksi tältä:

$$]0,5[\cup ]5,10[=]0,10[-\{5\}$$

Milloin käytetään avointa väliä

Avoimen ja suljetun välin ero täytyy ymmärtää. Yleinen avoimen välin käyttötapaus on esimerkiksi logaritmin määrittelyjoukko. Logaritmifunktioon voimme sijoittaa minkä tahansa positiivisen reaaliluvun, eli emme voi sijoittaa negatiivista lukua emmekä nollaa. Miten sen kirjoitamme?

Funktion ln määrittelyjoukko on ]0, ∞[.

Tämä merkintä kertoo, että logaritmiin voimme sijoittaa kuinka pienen positiivisen luvun tahansa, mutta emme nollaa. Esimerkiksi luku 1 kuuluu väliin, samoin luku 0,001 ja luku 0,0000000001 tai 10⁻⁶⁶⁶. Mutta nolla ei enää kuulu väliin. Samalla tavalla voisimme kirjoittaa murtolauseketta sisältävän funktion määrittelyjoukon, vaikkapa tavallisen f(x) = 1/x.

Funktion f määrittelyjoukko on ]−∞, 0[ ∪ ]0, ∞[.

Tämä rajaa reaalilukujen joukon ilman nollaa. Kummassakaan välissä nolla ei ole suljetun päätepisteen paikalla, joten sitä ei ole myöskään tulosyhdisteessä. Voimme kuitenkin käyttää kuinka pientä positiivista tai kuinka suurta negatiivista lukua tahansa (negatiivisille luvuille pätee, että −0,001 on suurempi kuin −0,1, siksi sanomme ”kuinka suuri tahansa” emmekä ”kuinka pieni tahansa”).

Geometrinen tulkinta

Välit esitetään tavallisesti lukusuoralla janoina, ja päätepisteet valitaan sen mukaan, onko väli suljettu vai avoin. Jos väli on suljettu, pistettä esittävä ympyrä on täytetty, ja jos väli on avoin, se on tyhjä, vain ääriviiva, pelkkä ympyrän kehä.

Seuraava kuva esittää kolme väliä kahdesta kuuteen, mutta ne eroavat päätepisteiden suljettuudessa. Kuvassa ovat järjestyksessä nämä välit: [2, 6], ]2, 6], ]2, 6[.