Mistä Neperin luku tulee

Neperin luku eli Eulerin luku on yksi tunnetuimmista matemaattisista vakioista vaikkapa luvun pii eli π kanssa. Kerromme, miten tähän lukuun päädyttiin ja mitä se tarkoittaa.

1600-luvulla sveitsiläinen matemaatikko Jacob Bernoulli kiinnostui koronkorosta. Kuvitellaan, että meillä on yksi euro, jonka talletamme pankkiin, ja pankki tarjoaa 100 %:n vuosikorkoa. Pankilta se on silkkaa hulluutta, mutta mitä ei tekisi matematiikan hyväksi. Paljonko meillä on tilillä tasan vuoden kuluttua? No, kaksi euroa.

Miten tilanne muuttuisi, jos pankki tarjoaisi 50 %:n koron, joka lisättäisiin tilille puolen vuoden välein? Olisiko se meille edullisempaa vai epäedullisempaa?

Ensimmäisen puolen vuoden jälkeen meillä olisi puolet enemmän. ”Puolet enemmän” kirjoitetaan matematiikassa $x\cdot (1+\frac{1}{2})$. Sijoitamme x:n paikalle talletuksemme eli yhden euron ja laskemme

$$1\cdot (1+\frac{1}{2})=1,5$$

Puolen vuoden jälkeen tilillä on 1,50 €. Toisen puolen vuoden jälkeen meillä olisi taas puolet enemmän. Käytämme samaa kaavaa, mutta x:n paikalle sijoitamme uuden saldomme eli 1,5:

$$1,5\cdot (1+\frac{1}{2})=2,25$$

Vuoden kuluttua tilillä on siis 2,25 €. Useammin tapahtuva koronlisäys pienemmällä korolla on meille siis edullista.

Koronlisäys joka kuukausi

Entä jos pankki tarjoaisi koronlisäystä joka kuukausi, mutta korko olisi vain kahdestoistaosa alkuperäisestä? Huh, nyt joutuu jo laskemaan aika paljon. Paljonko saldoa on ensimmäisen kuukauden jälkeen? Meillä on ”yksi kahdestoistaosa enemmän”, mikä kirjoitetaan $x\cdot (1+\frac{1}{12})$. Ensimmäisen kuukauden jälkeen meillä on siis:

$$1\cdot (1+\frac{1}{12})=\mathrm{1,083}3333\dots$$

Toisen kuukauden jälkeen meillä on

$$\mathrm{1,083}3333\cdot (1+\frac{1}{12})=\mathrm{1,173}61111\dots$$

Huomaa kuitenkin, että luvun 1,0833333 tilalle voimme kirjoittaa $1\cdot (1+\frac{1}{12})$, koska tiedämme näiden lukujen olevan yhtä suuret:

$$1\cdot (1+\frac{1}{12})\cdot (1+\frac{1}{12})=\mathrm{1,173}61111\dots$$

Kolmannen kuukauden jälkeen tilillä on:

$$1\cdot (1+\frac{1}{12})\cdot (1+\frac{1}{12})\cdot (1+\frac{1}{12})=\mathrm{1,271}41203$$

Kuten näet, laskussamme toistuu tietty säännönmukaisuus. Sulkulauseke toistuu siinä niin monta kertaa kuin monettako kuukautta lasketaan. Edellistä lauseketta voi sieventää kirjoittamalla kolmen samanlaisen sulkulausekkeen tilalle yhden ja korottamalla sen kolmanteen potenssiin:

$$1\cdot {(1+\frac{1}{12})}^3=\mathrm{1,271}41203$$

Myös alussa oleva ykkösellä kertominen on turhaa, joten poistamme sen:

$${(1+\frac{1}{12})}^3=\mathrm{1,271}41203$$

Jos nyt haluamme laskea saldon kahdentoista kuukauden jälkeen, käytämme eksponenttina kolmosen tilalla lukua 12:

$${(1+\frac{1}{12})}^{12}=\mathrm{2,613}0352$$

Kahdentoista kuukauden jälkeen tilillä on noin 2,6130352 €. Ei hullumpaa! Ja paljon parempi kuin silloin, kun korko oli 100 % vuodessa.

Jatkuva koronlisäys

Meidän ei tarvitse pysähtyä kuukausiin. Paljonko meillä olisi, jos lisäisimme koron joka viikko, korkona $\frac{1}{52}$ alkuperäisestä korosta? Koska kaava on jo tuttu, sijoitamme vain:

$${(1+\frac{1}{52})}^{52}=\mathrm{2,692}5969$$

Entä päiväkorko?

$${(1+\frac{1}{365})}^{365}=\mathrm{2,714}5674$$

Tuntikorko? (Vuodessa on 8 760 tuntia)

$${(1+\frac{1}{8760})}^{8760}=\mathrm{2,718}126$$

Näemme, että aina kun otamme pienemmän koron ja lisäämme sen useammin, tilillä on lopussa hieman enemmän rahaa. Lisäykset eivät kuitenkaan enää ole kovin suuria. Näin voisimme jatkaa loputtomiin. Itse asiassa se ei ole huono ajatus: voisimme lisätä koron joka minuutti, joka sekunti, joka millisekunti, joka nanosekunti… kunnes päätyisimme tilanteeseen, jossa korkoa lisätään jatkuvasti. Meillä olisi jatkuva pikkuruinen korko, jolla saldoa kasvatettaisiin joka hetki. Paljonko tilillä olisi tällöin rahaa vuoden kuluttua?

Takaisin Neperin lukuun

Tätä kysymystä Jacob Bernoulli yritti ratkaista. Onnettomuudekseen hän ei siinä onnistunut, vaan sen ratkaisi vasta 1700-luvulla kuuluisa matemaatikko Leonhard Euler. Hän laski, että vuoden jälkeen tilillä olisi

$$\mathrm{2,718}28182845904523536028747135\dots$$

euroa. Näet, ettei se ole enää paljon enempää kuin silloin, kun korko lisättiin joka tunti. Ja koska tämä saldo, tämä luku, osoittautui hyvin tärkeäksi matematiikan eri osa-alueilla, sitä kutsutaan yhä Neperin luvuksi (tai Eulerin luvuksi) ja merkitään kirjaimella e. Neperin luku on irrationaaliluku, eli luku, jonka desimaalikehitelmä on ääretön ja jaksoton. Samoin kuin vaikkapa luku π. Et siis koskaan näe sitä kokonaisena. Silti voimme määritellä Neperin luvun tarkasti funktion raja-arvon avulla:

$$e=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{n})}^n$$

Lähteet ja linkit

• Erinomainen jakso englanninkieliseltä Numberphile-kanavalta Eulerin luvusta.
• Näin lasket asuntolainan korot