Vaihdannaisuus

Vaihdannaisuus on esimerkiksi yhteenlaskun kaltaisten laskutoimitusten ominaisuus. Voimme huomata, että yhteenlaskussa järjestyksellä ei ole väliä, joten 3 + 5 on sama kuin 5 + 3. Laskimmepa yhteen minkä tahansa kaksi reaalilukua a + b, tulos on sama, vaikka vaihdamme yhteenlaskettavat keskenään: b + a. Jos jokin laskutoimitus täyttää tämän ehdon, sanomme sitä vaihdannaiseksi.

Esimerkki toisesta vaihdannaisesta laskutoimituksesta on kertolasku, koska 2 · 6 antaa saman tuloksen kuin 6 · 2, ja sama pätee mille tahansa kahdelle luvulle a, b:

$$a\cdot b=b\cdot a$$

Esimerkki laskutoimituksesta, joka ei ole vaihdannainen, on vähennyslasku, koska 7 − 4 on eri asia kuin 4 − 7. Ensimmäisessä tapauksessa tulos on 3, toisessa −3. Toinen esimerkki on jakolasku, koska 2 / 5 on eri asia kuin 5 / 2.

Varo kuitenkin laskutoimitusten muita ominaisuuksia, esimerkiksi laskujärjestystä. Jos meillä on lauseke 1 + 2 · 3, emme voi sanoa, että se on sama kuin 2 + 1 · 3. Kertolasku nimittäin suoritetaan ennen yhteenlaskua. Voimme auttaa itseämme sulkeilla: lauseke 1 + 2 · 3 on sama kuin 1 + (2 · 3). Jos haluamme soveltaa yhteenlaskun vaihdannaisuutta, voimme, mutta meidän täytyy ottaa koko sulkulauseke mukaan: 1 + (2 · 3) on yhtä kuin (2 · 3) + 1, ja se on yhtä kuin (3 · 2) + 1, jos sovellamme vielä kertolaskun vaihdannaisuutta.

Joukko-operaatiot ja vaihdannaisuus

Vaihdannaisia voivat olla lukujen laskutoimitusten lisäksi myös esimerkiksi joukko-operaatiot. Esimerkiksi joukkojen A ja B leikkaus on vaihdannainen operaatio. Kahden joukon leikkauksena ovat ”alkiot, jotka ovat molemmissa joukoissa”, eli

$$A\cap B=B\cap A$$

Aivan samoin on joukkojen A ja B yhdisteen kohdalla, jonka tuloksena ovat ”alkiot, jotka ovat ainakin toisessa joukoista”, ja siis:

$$A\cup B=B\cup A$$

Vaihdannainen ei ole esimerkiksi joukkojen erotus.

Vektorit

Yksi muu vaihdannainen laskutoimitus löytyy vektorien laskutoimituksista, ja se on vektorien yhteenlasku – yhteenlasku on yleensä vaihdannainen laskutoimitus. Tässä tapauksessa, kun meillä on kaksi vektoria $\overline{u}$ ja $\overline{v}$, pätee

$$\overline{u}+\overline{v}=\overline{v}+\overline{u}$$

Graafisesti sen kuvaa seuraava kuva:

Summaa $\overline{u}+\overline{v}$ kuvaa ”yläreitti”, jossa ensin kuljemme punaisen vektorin $\overline{u}$ verran ja vasta sitten sinisen vektorin $\overline{v}$ verran. Summaa $\overline{v}+\overline{u}$ kuvaa ”alareitti”: ensin kuljemme sinisen vektorin $\overline{v}$ reittiä ja sitten punaisen vektorin $\overline{u}$. Tulos on kuitenkin sama, vektorit päätyvät samaan pisteeseen.

Voit kuvitella sen niin, että lähtisit jostakin paikasta ja kulkisit viisikymmentä metriä pohjoiseen ja sitten kaksikymmentä metriä länteen. Jos kulkisit ensin kaksikymmentä metriä länteen ja sitten viisikymmentä metriä pohjoiseen, päätyisit samaan paikkaan. Tällainen kulkeminen on siis vaihdannaista.

Logiikka

Vaihdannaisia laskutoimituksia ovat myös loogiset operaattorit ”ja” (konjunktio) ja ”tai” (disjunktio). Se tarkoittaa, että väite ”luku 5 on pariton ja samalla alkuluku” on yhtä tosi kuin väite ”luku 5 on alkuluku ja samalla pariton”. Samoin disjunktiolle: ”luku 6 on alkuluku tai parillinen” on yhtä tosi kuin väite ”luku 6 on parillinen tai alkuluku”.

Vaihdannainen ei kuitenkaan ole implikaatio, eli väite ”jos voitan lotossa, niin olen rikas” ei ole sama kuin ”jos olen rikas, niin voitan lotossa”.