Kompleksiluvut

Kompleksiluvut ovat reaalilukujen laajennus. Reaalilukujen joukossa voimme tehdä useimmat tavalliset laskutoimitukset, kuten yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolaskun (nollalla jakoa lukuun ottamatta). Reaaliluvuista voi myös ottaa neliöjuuren, mutta vain ei-negatiivisista. Tämä on aukko, joka tulee vastaan esimerkiksi toisen asteen yhtälöä ratkaistessa, kun diskriminantti on negatiivinen. Kompleksiluvut paikkaavat tämän aukon.

Mikä kompleksiluku on

Tavallisista luvuista kompleksiluvut eroavat ennen kaikkea siinä, että niillä on kaksi osaa, reaaliosa ja imaginaariosa. Kompleksiluku on järjestetty lukupari (x, y), jossa luku x on reaaliosa ja luku y imaginaariosa. Jos reaaliosa on nolla, kyseessä on puhtaasti imaginaarinen kompleksiluku. Luvut x ja y ovat itse reaalilukuja.

Kompleksilukujen joukkoa merkitään isolla C-kirjaimella: ℂ.

Kompleksilukujen yhtäsuuruus: toisin kuin tavallisilla luvuilla, kompleksiluvuilla on kaksi komponenttia. Jotta kaksi kompleksilukua olisivat yhtä suuret, niiden täytyy olla yhtä suuret molemmissa komponenteissa. Nämä kompleksiluvut ovat siis keskenään erisuuret: (2, 3) ≠ (0, 3) ≠ (2, 0). Kompleksiluvut z₁ = (1, 2) ja z₂ = (1, 2) ovat yhtä suuret: z₁ = z₂.

Algebrallinen muoto ja imaginaariyksikkö

Kompleksiluvut kirjoitetaan useammin algebrallisessa muodossa, joka on seuraavanlainen. Kompleksiluvun (x, y) algebrallinen muoto on x + yi, jossa i on imaginaariyksikkö. Imaginaariyksikön neliölle pätee hyvin tärkeä yhtälö:

$$i^2=-1$$

Tätä yhtälöä käytetään jatkossa usein yhdessä muiden potenssien kanssa. Korkeammat potenssit voi nimittäin laskea tavalliseen tapaan. Jos esimerkiksi haluamme sieventää lausekkeen i³, voimme potenssien laskusääntöjen mukaan kirjoittaa sen muotoon i² · i. Tiedämme jo, että i² on miinus yksi. Toista i-kirjainta ei voi enää hajottaa, joten saamme: i³ = −i.

$$i^3=\underset{-1}{\underbrace{i^2}}\cdot \underset{i}{\underbrace{i}}=-i$$

Samoin luvulle i⁴. Sen voi kirjoittaa muotoon i² · i², jossa i² = −1, joten saamme: −1 · − 1 = 1.

$$i^4=\underset{-1}{\underbrace{i^2}}\cdot \underset{-1}{\underbrace{i^2}}=-1\cdot -1=1$$

Siis i⁴ = 1. Tätä voimme hyödyntää, kun lasketaan vielä korkeampia imaginaariyksikön potensseja. Jos esimerkiksi lasketaan i⁷, voimme kirjoittaa sen muotoon i⁴ · i³. Tiedämme, että i⁴ = 1, joten saamme: 1 · i³. Ja tiedämme, että i³ = −i. Tulos on: 1 · (−i) = −i.

Yhteen- ja kertolasku

Kompleksilukuja voi laskea yhteen ja kertoa. Yhteenlaskussa kahden kompleksiluvun z₁ ja z₂ reaaliosat ja imaginaariosat lasketaan yhteen erikseen:

$$z_1+z_2=(x_1+y_{1}i)+(x_2+y_{2}i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i$$

Esimerkki: z₁ = 3 + 7i ja z₂ = 5 + 8i. Summa on z₁ + z₂ = (3 + 5) + (7 + 8)i = 8 + 15i.

Kompleksilukujen tulo on jo hieman monimutkaisempi, mutta sen voi laskea auki tavallisena sulkujen kertomisena. Peruskaava on tämä:

$$z_1\cdot z_2=(x_1+y_{1}i)\cdot (x_2+y_{2}i)=(x_1{x}_2-y_1{y}_2)+(x_1{y}_2+x_2{y}_1)i$$

Miten kaavaan päästiin? Kerrotaan z₁ · z₂ samalla tavalla kuin tavalliset sulut. Saamme:

$$z_1\cdot z_2=x_1{x}_2+x_1{y}_{2}i+x_2{y}_{1}i+y_1{y}_2{i}^2$$

Koska i² = −1, saamme viimeisen termin sievennyksen jälkeen:

$$z_1\cdot z_2=x_1{x}_2+x_1{y}_{2}i+x_2{y}_{1}i-y_1{y}_2$$

Nyt kokoamme yhteen termit ilman imaginaariyksikköä ja termit, joissa se on:

$$z_1\cdot z_2=(x_1{x}_2-y_1{y}_2)+(x_1{y}_2+x_2{y}_1)i$$

Esimerkki. Kerrotaan luvut 5 + 6i ja 4 + 7i. Saamme:

$$(5+6i)\cdot (4+7i)=20+35i+24i+42i^2=20+59i-42=-22+59i$$

Vastaluku, käänteisluku ja liittoluku

• Kompleksiluvun x + yi vastaluku on −x − yi. Kuten reaaliluvuilla, vastaluku saadaan kertomalla annettu kompleksiluku miinus ykkösellä. Esimerkki: luvun 2 + 7i vastaluku on −2 − 7i. Luvun −5 + 8i vastaluku on 5 − 8i jne.

• Kompleksiluvun x + yi käänteisluku on $\frac{1}{x+yi}$. Luvun 4 − 2i käänteisluku on siis $\frac{1}{4-2i}$.

• Luvun x + yi liittoluku on x − yi. Sitä merkitään yleensä viivalla luvun päällä: $\bar{z}$, tai vaihtoehtoisesti tähdellä z*. Tämä on kompleksiluvun z liittoluku. Luvun 2 + 9i liittoluku on 2 − 9i.

Vähennyslasku ja jakolasku

Kun vastaluku ja käänteisluku on määritelty, voimme määritellä myös vähennys- ja jakolaskun. Kun haluamme vähentää kompleksiluvusta toisen, z₁ − z₂, lisäämme lukuun z₁ luvun z₂ vastaluvun. Käytännössä saamme yksinkertaisen kaavan:

$$z_1-z_2=(x_1+y_{1}i)-(x_2+y_{2}i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i$$

Samoin jakolasku z₁ / z₂ muutetaan kertolaskuksi kertomalla z₁ · z₂′, jossa z₂′ on luvun z₂ käänteisluku.

Itseisarvo

Kompleksiluvun z itseisarvo lasketaan kaavalla:

$$|z|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{z\cdot \bar{z}}$$

(Neliöjuuren sisällä oleva toinen z on luvun z liittoluku.) Tämän kaavan merkitys näkyy hyvin kompleksilukujen geometrisessa esityksessä.

Jokaista kompleksilukua, jonka itseisarvo on yksi, kutsutaan yksikkökompleksiluvuksi. Esimerkkejä yksikkökompleksiluvuista: 1, i, $\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i$.

Itseisarvon ominaisuuksia:

• Kompleksiluvun itseisarvo on reaaliluku.
• |z| ≥ 0
• |z| = |−z| = |z*|, jossa z* on liittoluku.