Rationaaliluvut

Rationaaliluvut ovat kaikki luvut, jotka voidaan kirjoittaa kahden kokonaisluvun osamääränä eli murtolukuna.

Määritelmä

Rationaaliluvut ovat siis kaikki luvut, jotka voidaan kirjoittaa muodossa

$$\frac{a}{b}a,b\in \mathbb{Z},b\ne 0.$$

Ehdolla, että molempien lukujen täytyy olla kokonaislukuja, on ilmeinen merkitys. Jos nimittäin valitsisit luvun, joka ei ole rationaalinen, vaikkapa π, ja muodostaisit murtoluvun näin:

$$\frac{\pi }{1},$$

saisit takaisin luvun π, joka ei ole rationaalinen. Siksi sekä osoittajan että nimittäjän täytyy olla kokonaislukuja. Ja koska nollalla ei voi jakaa, nimittäjä ei saa olla nolla.

Voimme myös sanoa, että rationaaliluvut ovat lukuja, joiden desimaalikehitelmä on päättyvä, sekä lukuja, joiden desimaalikehitelmä on ääretön ja jossa jokin osa toistuu jaksollisesti. Esimerkkejä rationaaliluvuista ensin murtolukuina:

$$\frac{1}{3},-\frac{5}{9},\frac{13}{29},\frac{4}{1},\dots$$

ja sitten desimaalilukuina: 0,1; −5; 14,5; −12,93; 0,33333…=$0,\bar{3}$

Jaksollinen esitys

Edellisessä esimerkissä meillä oli luku 0,3333… Se on murtoluvun 1/3 desimaaliesitys ja siis luku, jonka desimaalikehitelmä on ääretön. Silti se on rationaalinen, koska kehitelmä on jaksollinen. Jaksollisuus tarkoittaa, että luvun tietystä kohdasta alkaen sama numerosarja toistuu loputtomiin. Meidän tapauksessamme toistui kolmonen. Loputtomiin voi kuitenkin toistua myös esimerkiksi numerosarja 12345, ja silti luvulla on jakso ja se on rationaaliluku.

Jokainen luku, jonka desimaalikehitelmä päättyy, on siis rationaaliluku. Myös jokainen luku, jonka desimaalikehitelmä on ääretön ja jossa jokin osa toistuu jaksollisesti, on rationaaliluku. Luku, jonka desimaalikehitelmä on ääretön eikä missään kohdassa toistu jaksollisesti, on irrationaaliluku.

Jaksoa merkitään joko kolmella pisteellä tai, yleisemmin, viivalla toistuvien numeroiden päällä. Jaksollisesti voi toistua yksi numero, mutta yhtä hyvin useampikin. Jakso voi alkaa heti desimaaliosan alusta tai vasta myöhemmin. Kaikki nämä ovat jaksollisia lukuja:

$$\begin{array}{rclcl}7/3& =& \mathrm{2,333}33\dots & =& 2,\bar{3}\\ 16/11& =& \mathrm{1,454}545\dots & =& 1,\overline{45}\\ 11/6& =& \mathrm{1,833}333\dots & =& 1,8\bar{3}\end{array}$$

Merkintä ja merkitys

Rationaalilukuja merkitään kirjaimella Q, jossa on kaksinkertainen kaari: ℚ. Merkintä tulee englannin sanasta ”quotient”, suomeksi osamäärä, joka tarkoittaa jakolaskun tulosta.

Rationaalilukuja käytetään osan ilmaisemiseen kokonaisuudesta. Tyypillisiä ovat esimerkiksi ”puolikas” tai ”kymmenesosa”. Ne ovat kokonaisuuden osia, jotka voidaan rationaaliluvuilla ilmaista osamäärinä 1/2 ja 1/10. Tällöin nimittäjä kertoo kokonaisuuden ja osoittaja osan kokonaisuudesta. Jos osoittaja on yhtä suuri kuin nimittäjä, meillä on koko kokonaisuus. Tällaiset osuudet muutetaan usein prosenteiksi.

Ominaisuudet

1. Rationaaliluvut muodostavat äärettömän numeroituvan joukon.

• Rationaaliluvut ovat suljettuja yhteenlaskun, vähennyslaskun, kertolaskun ja jakolaskun suhteen. Se tarkoittaa, että kun jaamme kaksi rationaalilukua keskenään, saamme taas rationaaliluvun. Tämä on muutos kokonaislukuihin verrattuna, sillä ne eivät olleet suljettuja jakolaskun suhteen.
• Rationaaliluvut sisältävät kaikki kokonaisluvut. Jos kaikki rationaaliluvut voidaan ilmaista murtolukuna a/b, riittää, että b = 1, ja jakolaskusta a/1 = a saamme aina takaisin osoittajan arvon.
• Jos otamme kaksi rationaalilukua a ja b, joille pätee a < b, löydämme aina vielä yhden rationaaliluvun q, jolle pätee a < q < b. Toisin sanoen minkä tahansa kahden rationaaliluvun välistä löytyy aina jokin toinen rationaaliluku. Pätee myös vahvempi väite: minkä tahansa kahden rationaaliluvun välissä on äärettömän monta muuta rationaalilukua.
• Edellisen väitteen seurauksena ei ole olemassa pienintä positiivista (eikä suurinta negatiivista) rationaalilukua. Voimme todistaa tämän ristiriitatodistuksella. Olkoon m pienin positiivinen rationaaliluku. Silloin ei voisi löytyä sitä pienempää positiivista rationaalilukua. Edellisen väitteen mukaan kuitenkin 0 < m, joten on olemassa rationaaliluku s, jolle 0 < s < m. Löysimme luvun s, joka on suurempi kuin nolla (positiivinen) ja pienempi kuin luku m. Tämä on ristiriidassa sen kanssa, että m on pienin positiivinen rationaaliluku.

Laskutoimitukset rationaaliluvuilla

Kaikki tavalliset peruslaskutoimitukset on kuvattu artikkelissa murtoluvut.

Jaksollisen luvun muuttaminen murtoluvuksi

Koska jaksollinen luku on samalla rationaaliluku, se täytyy voida muuttaa murtoluvuksi. Näytämme, miten se tehdään. Olkoon aluksi jaksollinen luku a = 0,333… Kirjoitamme

$$a=0,\bar{3}$$

Nyt teemme tavallisia yhtäpitäviä muunnoksia yhtälöille ja kerromme koko yhtälön kymmenellä:

$$10a=3,\bar{3}$$

Oikealla puolella kolmonen siirtyi ykkösten paikalle, ja desimaalipilkun jälkeen on edelleen äärettömän monta kolmosta. Nyt vähennämme yhtälöstä luvun a eli luvun 0,333…, jolloin pääsemme eroon äärettömästä kehitelmästä.

$$9a=3$$

Tämä vaihe oli ehkä hieman monimutkainen, joten kirjoitan sen auki. Teimme seuraavan laskutoimituksen:

$$\begin{array}{ccccccc}& 3& ,& 3& 3& 3& \dots \\ -& 0& ,& 3& 3& 3& \dots \\ =& 3& ,& 0& 0& 0& \dots \end{array}$$

Ylempi yhtälö 9a = 3 jaetaan vain yhdeksällä, ja saamme tuloksen:

$$a=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$$

Kokeillaan vielä yhtä esimerkkiä:

$$a=\mathrm{1,454}545\dots =1,\overline{45}$$

Menettely on hieman erilainen. Edellisessä esimerkissä jakson pituus oli yksi. Tarkemmin sanottuna jakso olisi voinut olla kuinka pitkä tahansa, koska samat numerot toistuivat koko ajan, mutta meille oli sopivaa valita sen pituudeksi yksi. Nyt jakson pituus on kaksi. Voisimme jälleen valita jakson pituudeksi kuusi, mutta se ei sovi tarkoitukseemme. Jotta vähentäisimme todella koko jakson, meidän on tällä kertaa kerrottava sadalla:

$$100a=145,\overline{45}$$

Vähennämme yhden a:n:

$$99a=144$$

Ja jaamme luvulla 99:

$$a=\frac{144}{99}=\frac{16}{11}$$

Kun jaat nämä luvut laskimella, tulokseksi saat juuri 1,454545… Useimmat laskimet kuitenkin pyöristävät, joten näytössä voi näkyä hieman erilainen tulos.

Kiinnostava tapaus 0,9999…

Muutetaan vielä huvin vuoksi murtoluvuksi jaksollinen luku

$$a=0,\bar{9}$$

Kerromme kymmenellä:

$$10a=9,\bar{9}$$

Vähennämme a:n:

$$9a=9$$

Jaamme yhdeksällä:

$$a=1$$

Näemme, että saimme ykkösen, eli luku 0,999… on yhtä suuri kuin luku 1.

Linkit

• Wikipedia