Joukot

Joukon voi ajatella alkioiden kokoelmana. Jokaisessa joukossa on siis tietty määrä alkioita, joka voi olla äärellinen tai ääretön. Joukossa ei myöskään tarvitse olla yhtään alkiota, jolloin puhumme tyhjästä joukosta. Joukko merkitään yleensä isolla kirjaimella, esimerkiksi M, ja joukon alkiot pienellä kirjaimella m.

Mikä joukko on

Joukko on yksi matematiikan peruskäsitteistä, jonka avulla määritellään suuri joukko muita asioita, joten on hyvä selvittää heti alussa, mikä joukko on, jotta et eksy myöhemmin opiskelussa.

Joukko on siis jokin kokoelma mielivaltaisia alkioita. Matematiikassa työskentelemme useimmiten lukujoukkojen kanssa, eli joukkojen, joiden alkiot ovat lukuja. Joukon tavallinen merkintätapa matematiikassa on tällainen:

$$M=\{1,2,3\}$$

Tällä kuvasimme joukon nimeltä ”M”, jossa on kolme alkiota: ykkönen, kakkonen ja kolmonen. Joukot kirjoitetaan aina aaltosulkeiden sisään. Käytännössä aina kun näet aaltosulkeet, kyseessä on jokin joukko.

Mihin joukkoja voi käyttää? Joukot kertovat usein, mitä alkioita voimme valita. Arjessa voisit esimerkiksi sanoa: ”Aino, pelataanpa peliä. Ajattele jotain lukua yhdestä viiteen.” Tällöin olet rajannut Ainolle joukon lukuja, joista hän voi valita. Matematiikassa käyttäisit tähän joukkoa:

$$L=\{1,2,3,4,5\}$$

Ja sitten voisit sanoa Ainolle: ”Aino, pelataanpa peliä. Ajattele jotain lukua, joka kuuluu joukkoon L.” Peli olisi varmasti heti hauskempi. Matematiikassa merkitsemme, että alkio kuuluu joukkoon, merkillä ∈, ja jos se ei kuulu joukkoon, käytämme merkkiä ∉. Jos haluamme sanoa, että ykkönen kuuluu joukkoon L mutta seiska ei, kirjoitamme: 1 ∈ L ja 7 ∉ L.

Joukko voi tietysti olla tyhjä. Sitä varten on joko merkintä P = {} tai yksinkertaisemmin P = ∅. Huomaa, että molemmat merkinnät tarkoittavat ”tyhjää joukkoa”. Jos kirjoittaisit P = {∅}, kirjoittaisit joukon, jonka sisällä on tyhjä joukko. Se ei ole sama asia kuin tyhjä joukko.

Järjestämättömyys ja toistuvat alkiot

Joukon alkioilla ei sanota olevan mitään järjestystä. Joukko on alkioiden järjestämätön kokoelma. Jos meillä on kaksi joukkoa A = {1, 2, 3} ja B = {3, 2, 1}, sanomme, että ne ovat samat. Alkioiden järjestyksellä joukossa ei yksinkertaisesti ole väliä.

Samoin toistuvat alkiot eivät kiinnosta meitä. Jos joukossa on useita samoja alkioita (useita samoja lukuja), otamme huomioon aina vain yhden esiintymän kyseisestä alkiosta. Jos meillä on jälleen nämä kaksi joukkoa A = {1, 1, 2, 2, 2} ja B = {2, 1}, pidämme niitä samoina. Ei haittaa, että joukossa A on ”enemmän” alkioita, koska siinä on kahdesti tai kolmesti toistuvia alkioita. Joukoilla laskiessa nämä toistot yksinkertaisesti suodatetaan pois.

Koko ja yhtäsuuruus

Voimme määritellä joukon koon, joka on joukon alkioiden lukumäärä. Edellisen esimerkin joukoille A = {1, 1, 2, 2, 2} ja B = {2, 1} pätisi, että joukon A koko on kaksi mutta myös joukon B koko on kaksi, koska alkioita laskettaessakaan toistuvat alkiot eivät kiinnosta meitä. Joukon koko merkitään pystyviivojen väliin: |A| = |B| = 2.

Kuten olet varmaan jo ymmärtänyt, kaksi joukkoa ovat yhtä suuret, jos molemmissa joukoissa on samat alkiot. Muutama esimerkki:

$$\begin{array}{rcl}\{1,2,3\}& =& \{1,2,3\}\\ \{1,2,3\}& =& \{1,2,3,2,3,1\}\\ \{a,h,o,j\}& =& \{o,o,h,j,a,o\}\\ \{1,3,5,9\}& \ne & \{1,3,9\}\\ \mathrm{\varnothing }& \ne & \left\{x\right\}\end{array}$$

Tärkeä ominaisuus on, että joukon alkio voi olla itsekin joukko. Esimerkki: C = {1, 2, {3, 4, 5, 6}}. On tärkeää ymmärtää, että joukossa C on kolme alkiota, ei kuusi. Joukon C alkiot ovat ykkönen, kakkonen ja eräs joukko. Luvut 3, 4, 5 ja 6 ovat sisemmän joukon alkioita, eivät joukon C. Siis |C| = 3. Monimutkaisempi esimerkki:

$$D=\{0,\{1,\{2,3\}\},\left\{4\right\}\}$$

Kuinka monta alkiota joukossa D on? Siinä on kolme alkiota, jotka ovat nämä:

$$D_1=0,D_2=\{1,\{2,3\}\},D_3=\left\{4\right\}$$

Joukko voi olla äärellinen tai ääretön. Kaikki tähän mennessä mainitsemamme joukot ovat äärellisiä. Ääretön on esimerkiksi kaikkien lukujen joukko.

Osajoukko

Olkoon kaksi joukkoa A = {1, 2} ja B = {1, 2, 3}. Nämä joukot ovat erilaiset, koska niissä ei ole samat alkiot, joukko B on suurempi. Olet kuitenkin varmasti huomannut, että joukossa B on täsmälleen samat alkiot kuin joukossa A, sen lisäksi vain alkio 3. Tällöin voimme sanoa, että A on joukon B osajoukko.

Jos A on joukon B osajoukko, täytyy päteä, että kaikki joukon A alkiot kuuluvat myös joukkoon B. Osajoukkona oleminen on relaatio, ja se merkitään symbolilla ⊆. Muodollinen määritelmä:

$$A\subseteq B\iff \mathrm{\forall }x\in A:x\in B$$

Yleensä oletetaan, että joukot A ja B voivat olla samat, ja silloinkin pätee A ⊆ B. Jos haluamme ilmaista osajoukon tiukan muodon, käytämme toista symbolia: ⊂. Silloin jos A ⊂ B, joukon B täytyy olla suurempi (jos se on äärellinen), eli siinä täytyy olla alkio, jota joukossa A ei ole. Tällaista osajoukkoa kutsutaan ”aidoksi osajoukoksi”. Jos siis A ⊂ B, niin A on joukon B aito osajoukko. Aidon osajoukon määritelmä:

$$A\subset B\iff (A\subseteq B\wedge A\ne B)$$

Määritelmä on sama kuin tavallisella osajoukolla, mutta joukot eivät saa olla yhtä suuret. Muutamia esimerkkejä:

$$\begin{array}{rcl}\{a,h,o\}& \subseteq & \{a,h,o,j\}\\ \{a,h,o\}& \subset & \{a,h,o,j\}\\ \{2,4,6\}& \subseteq & \{2,4,6,8,\dots \}\\ \{2,4,6\}& \subset & \{2,4,6,8,\dots \}\\ \{1,2,3\}& ⊈& \{1,3\}\\ \{1,2,3\}& \not\subset & \{1,3\}\\ \{0,1\}& \subseteq & \{0,1\}\\ \{0,1\}& \not\subset & \{0,1\}\\ \mathrm{\varnothing }& \subseteq & \left\{\pi \right\}\\ \mathrm{\varnothing }& \subset & \left\{\pi \right\}\\ \mathrm{\varnothing }& \subseteq & \left\{\mathrm{\varnothing }\right\}\\ \mathrm{\varnothing }& \subset & \left\{\mathrm{\varnothing }\right\}\\ \left\{0\right\}& ⊈& \mathrm{\varnothing }\\ \left\{0\right\}& \not\subset & \mathrm{\varnothing }\\ \{\diamond ,△,\odot ,‡,\wr \}& \subseteq & \{\diamond ,△,\odot ,‡,\wr ,\star ,\bullet ,\mp \}\\ \{\diamond ,△,\odot ,‡,\wr \}& \subset & \{\diamond ,△,\odot ,‡,\wr ,\star ,\bullet ,\mp \}\end{array}$$

Osajoukon ominaisuuksia:

• A ⊆ A: joukko on aina oma osajoukkonsa.
• A ⊄ A: joukko ei koskaan ole oma aito osajoukkonsa.
• ∅ ⊆ A: tyhjä joukko on minkä tahansa joukon osajoukko.
• A ⊄ ∅: tyhjällä joukolla ei ole yhtään aitoa osajoukkoa.

Osajoukkojen avulla voimme kirjoittaa joukkojen yhtäsuuruuden:

$$A=B\iff A\subseteq B\wedge B\subseteq A$$

Jos kaksi joukkoa ovat samat, kumpikin on toisen osajoukko.

Osajoukkona olemista kutsutaan myös sisältymiseksi eli inkluusioksi.

Potenssijoukko

Potenssijoukko on annetun joukon kaikkien osajoukkojen joukko. Se merkitään yleensä joko P(M) tai 2^M.

Esimerkki: M = {1, 2, 3}. Mitkä ovat kaikki osajoukot? Varmasti tyhjä osajoukko ja joukko M itse. Lisäksi: {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}. Kaikki nämä joukot muodostavat joukon M potenssijoukon. Kirjoitamme: P(M) = {∅, M, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}}.

Koska tyhjä joukko on jokaisen joukon osajoukko ja M on aina joukon M osajoukko, pätee aina ∅ ∈ P(M) ja M ∈ P(M).

Joukon kirjoittaminen

Yhden tavan olemme jo maininneet: alkioiden luettelo. Siihen käytämme aaltosulkeita. M = {1, 2, 3} tai N = {a, b, c, d} jne. Jos kirjoitamme äärettömän joukon, voimme käyttää kolmea pistettä, kun on selvää, miten alkioiden jono jatkuu: M = {1, 2, 3, …}

Pääasiallinen tapa kirjoittaa joukko on joukon ominaisuuden kuvaus. Yleisesti merkintä näyttäisi tältä: {x ∈ X | P(x)}, missä X on joukko, josta alkiot valitaan, ja P(x) on jokin lauseke, joka määrittää joukon alkiot. Lauseke voidaan kirjoittaa puhtaasti matemaattisesti tai sanoin. Merkin ”|” tilalla käytetään myös puolipistettä ”;”.

Esimerkiksi ”olkoon joukko M se, jossa on kaikki luvut, jotka kertovat jonkin kuukauden päivän”. Kuukaudessa on enintään 31 päivää, joten tällaisessa joukossa olisi 31 alkiota, luvusta 1 lukuun 31. Voisimme kirjoittaa sen kolmen pisteen avulla näin: M = {1, 2, 3, …, 30, 31}. Saman joukon voisi kirjoittaa myös näin: {x ∈ ℤ | x on kuukauden päivän numero}, missä ℤ tarkoittaa kokonaislukujen joukkoa.

Matemaattisempi esimerkki voisi olla ”olkoon joukko P se, jossa on kaikki positiiviset luvut, jotka ovat jaollisia viidellä”. Silloin joukko näyttäisi tältä: P = {5, 10, 15, 20, 25,…}

Kirjoitetaan matemaattisesti joukko T, jossa on kymmentä pienemmät positiiviset kokonaisluvut: T = {x ∈ ℤ⁺ | x<10}. Tämä merkintä kertoo: joukko T koostuu alkioista x, jotka otetaan positiivisten kokonaislukujen joukosta ja jotka täyttävät ehdon, että ne ovat pienempiä kuin 10. Katsotaan siis positiivisia kokonaislukuja ja poimitaan vain ne, jotka ovat pienempiä kuin kymmenen: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Siinä kaikki.

Toinen esimerkki: Y = {x ∈ ℤ | x ≠ 0}. Määrittelimme joukon Y, jonka alkiot x otetaan kokonaisluvuista ja ainoa ehto, jonka x:n täytyy täyttää, on, että se ei saa olla nolla. Joukossa Y on siis kaikki kokonaisluvut paitsi nolla.

Vielä yksi esimerkki: G = {x ∈ ℝ | x · x = x}. Joukossa G on alkiot x, jotka otetaan reaaliluvuista ja kaikille alkioille x täytyy päteä, että kun ne kerrotaan itsellään, saadaan taas luku x. Kokeillaan vaikkapa lukua 5. Määritelmän mukaan pitäisi päteä yhtälö 5 · 5 = 5. Se ei selvästikään päde, joten luku 5 ei ole joukon G alkio. Kokeillaan ykköstä: 1 · 1 = 1. Sille tämä pätee, joten ykkönen on joukon G alkio. Toinen ja samalla viimeinen alkio on luku nolla. Mikään muu luku ei täytä ehtoa. Voimme siis kirjoittaa: G = {0, 1}.

Ja vielä viimeinen esimerkki. Kirjoitan jotain monimutkaisempaa, jotta näet, että joukon ominaisuus voi olla myös monimutkainen:

$$X=\{x\in \mathbb{R}|(x^2=2x)\vee (\sin (x)=\pi \wedge \cos (x)=\pi )\}$$

Käytännössä joukko määritellään useimmin ominaisuuden avulla, ja voidaan sanoa, että varsin suuri osa matematiikan käsitteistä määritellään joukkojen avulla. Otetaan vaikkapa väli: voimme sanoa, että väli ]a, b[ on joukko I, jolle pätee:

$$I=\{x\in \mathbb{R}|(x>a)\wedge (x<b)\}$$

Ne ovat kaikki reaalilukujen joukon alkiot, jotka ovat suurempia kuin a ja pienempiä kuin b, mikä on täsmälleen se, mitä väli ilmaisee.

Lisälähteitä

• Wikipedia