Rectangle

Le rectangle est un parallélogramme dont tous les angles intérieurs mesurent 90 degrés, c’est-à-dire sont des angles droits. Les côtés opposés d’un rectangle ont toujours la même longueur. Le carré est alors un cas particulier de rectangle, dont tous les côtés ont la même longueur.

Description de base

Regarde d’abord la figure : Sur la figure, tu vois un rectangle formé par les sommets A, B, C et D ; c’est donc le rectangle ABCD. Il a quatre côtés : [AB], [BC], [CD] et [DA]. Les côtés opposés ont toujours la même longueur, qu’on note a et b. Sur la figure, les côtés ont pour longueur cinq et trois, comme indiqué.

Si les longueurs de tous les côtés étaient égales, c’est-à-dire si a = b, ce serait bien aussi un rectangle, mais on appelle plus souvent un tel rectangle un carré. Le carré n’est donc qu’un cas particulier de rectangle.

Diagonales

Chaque rectangle a deux diagonales, qui sont des segments reliant des sommets non consécutifs. Sur notre figure, ce sont les segments [AC] et [BD]. Sur la figure, elles sont aussi notées d₁ et d₂. Ces diagonales ont toujours la même longueur. Elles sont aussi toujours plus longues que n’importe quel côté du rectangle. Autres propriétés des diagonales :

• La longueur de la diagonale est égale à $d=\sqrt{a^2+b^2}$, d’après le théorème de Pythagore.
• Contrairement au carré, les diagonales ne forment pas entre elles un angle droit.
• Une diagonale partage le rectangle en deux moitiés. Les deux diagonales partagent alors le rectangle en quatre quarts.
• Les diagonales se coupent mutuellement en leur milieu. Si on marque le centre du rectangle par le point O (comme sur la figure), alors la longueur du segment [AO] est la même que celle du segment [CO].

Périmètre et aire

Le périmètre est la longueur du contour du rectangle, donc la somme des longueurs de ses quatre côtés : a + b + a + b. Mais comme deux côtés opposés ont toujours la même longueur, on peut calculer le périmètre comme 2 · a + 2 · b.

L’aire du rectangle est la mesure de la surface qu’il occupe. On la calcule en multipliant la longueur d’un côté par la longueur de l’autre côté, le côté voisin. L’aire du rectangle est donc égale à a · b. Encore une fois, en entier et clairement :

$$\begin{array}{rcl}\text{(périmètre)}\mathcal{P}& =& 2\cdot a+2\cdot b\\ \text{(aire)}\mathcal{A}& =& a\cdot b\end{array}$$

Sur la figure suivante, on voit d’abord le périmètre, la somme des longueurs des segments marqués en rouge, puis l’aire, la partie colorée du rectangle.

Cercle circonscrit et cercle inscrit

Comme pour le carré, le rectangle a un cercle circonscrit, c’est-à-dire un cercle dont le centre est au centre du rectangle (qui est aussi son centre de gravité) et dont le rayon est égal à la moitié de la longueur de la diagonale. Le cercle circonscrit passe par tous les sommets du rectangle. Mais contrairement au carré, le rectangle n’a pas de cercle inscrit, sauf bien sûr dans le cas où le rectangle est aussi un carré.